수열의 극한

수학노트
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수열의 극한 : 수렴과 발산.

  • 무한수열의 항이 어떤 수 에 무한히 가까이 접근해 갈 때, <수열이 에 수렴한다> 라고 말한다.
    • ex) 수열 은 로 수렴한다.
    • ex) 수열 은 으로 수렴한다.
    • 이라고 쓰기도 한다. 는 <limit> 에서 따온 기호이고, '리미트' 라고 읽으면 된다. 를 또박또박 예쁘게 쓸 필요는 없다. (사실 거의 아무도 그렇게 안 쓴다. 예쁘게 날려 쓰는(!) 편이 보기에도 좋다. 그래도 처음에는 예쁘게 써 볼것.)
  • 무한수열이 수렴하지 않을 때 <수열이 발산한다> 라고 말한다.
    • 수열의 항이 무한히 커져 갈 때 <수열이 (무한대)로 발산한다> 라고 한다.
      • ex) 수열 는 무한대로 발산한다.
      • ex) 수열 는 (음의 무한대)로 발산한다.
      • <무한대> 라는 개념은, <어떤 실수보다도 더 큰 수가 존재하고, 그 수를 무한대라 한다> 는 것이 아니라, <한없이 커져 가는 상태> 라고 생각해야 한다.
    • 발산하는 수열의 항이 나 로 발산하지 않는 경우 <수열이 진동한다> 라고 한다.
      • ex) 수열 는 진동한다.
      • ex) 수열 는 진동한다.
  • 등차수열은 공차 일 때만 수렴하고, 등차수열의 부분합은 모든 항이 일 때만 수렴한다.
  • 공차 인 등비수열이 수렴할 조건은 . ( 이면 진동하고, 이면 초항의 부호에 따라 로 발산. 수렴하는 경우 수렴값은 0 이다.
  • 공차 인 등비수열의 부분합이 수렴할 조건은 . (1이 제외되는 것에 주의, 왜 그럴까?) 수렴한다면 그 수렴값은 이다.

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