"1차원 가우시안 적분"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
 
(사용자 2명의 중간 판 40개는 보이지 않습니다)
1번째 줄: 1번째 줄:
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
+
==개요==
  
−
* [[가우시안 적분|가우시안의 적분]]
+
*  가우시안 적분(Gaussian integral)
 +
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math>
 +
:<math>\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}</math>
 +
:<math>\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}ax^2}dx=\sqrt{\frac{2\pi}{a}}</math>
 +
:<math>\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{1}{2}aix^2}dx=\sqrt{\frac{2\pi i }{a}}</math>
 +
* <math>e^{-x^2}</math> 의 부정적분은 초등함수로 표현할 수 없다
 +
** [[부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms)]] 항목을 참조
 +
* 부정적분을 초등함수로 표현할 수 없으나 <math>(-\infty,\infty)</math> 에서의 정적분을 계산할 수 있다.
 +
* 가우시안 적분은 유리수에서의 [[감마함수]]의 값으로 표현할 수 있다
 +
* 1차항이 있는 경우의 가우시안 적분은 다음과 같이 주어진다
 +
:<math>
 +
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}ax^2+bx} dx=\sqrt{ \frac{2\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{2a}}
 +
</math>
  
−
 
+
==극좌표 치환을 이용한 계산==
 +
* [[극좌표계]]로의 치환 <math>x = r \cos \theta, y = r \sin \theta</math>을 이용하여 다음을 얻는다
 +
:<math>
 +
\begin{aligned}
 +
\int\int_{\mathbb{R}^2}e^{-x^2-y^2}dA=& \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdrd\theta \\
 +
{}=& 2\pi\int_{0}^{\infty}re^{-r^2}dr \\
 +
{}=& 2\pi[-\frac{1}{2}e^{r^2}]_{0}^{\infty}\\
 +
{}=& \pi
 +
\end{aligned}
 +
</math>
  
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">간단한 소개</h5>
+
이제
 +
:<math>\int\int_{\mathbb{R}^2}e^{-x^2-y^2}dA= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2-y^2}dxdy=(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}dy)=(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)^2</math>
 +
로부터, <math>\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx =\sqrt{\pi}</math>을 얻는다.
 +
<math>x=\frac{t}{\sqrt{2}}</math> 로 치환하면, 다음을 얻는다.  
 +
:<math>\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}</math>
  
−
<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math> 의 적분을 Gaussian integral 이라고 한다.
 
  
−
 
+
==감마함수와의 관계==
  
−
<math>e^{-x^2}</math> 의 부정적분은 초등함수로 표현할 수 없음이 알려져 있다. 이에 대해서는 [[부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms)]] 항목을 참조
+
* [[감마함수]]를 이용하여 가우시안 적분을 표현할 수 있다:<math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math>:<math>2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx =\sqrt{\pi}</math>
 +
* <math>x=\sqrt{t}</math>로 치환하면,:<math>2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx= \int_0^\infty e^{-t} \ t^{-1/2} dt \, = \, \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)</math> 를 얻는다. 따라서:<math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}</math>
 +
*  더 일반적으로, 다음이 성립한다. :<math>\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x^2}dx=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{n+1}{2})</math>:<math>\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x^m}dx=\frac{1}{m}\Gamma(\frac{n+1}{m})</math>
  
−
하지만 우리는 부정적분을 알지 못해도 <math>(-\infty,\infty)</math> 에서의 정적분을 계산할 수 있다.
 
  
−
 
 
  
−
 <math>\int\int_{\mathbb{R}^2}e^{-x^2-y^2}dA</math>
 
  
−
<math>\int\int_{\mathbb{R}^2}e^{-x^2-y^2}dA= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdrd\theta=2\pi\int_{0}^{\infty}re^{-r^2}dr=2\pi[-\frac{1}{2}e^{r^2}]_{0}^{\infty}=\pi</math>
+
==일반화==
 +
* 정수 <math>n\ge 0</math>에 대하여,
 +
:<math>
 +
\begin{aligned}
 +
\int_{-\infty}^{\infty}x^n e^{-\frac{a x^2}{2}}\,dx=& \left[\left(\frac{\partial}{\partial b }\right )^n \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{a x^2}{2}+b x}\,dx\right]_{b=0}\\
 +
{}=& \sqrt{\frac{2\pi}{a}}\left[\left(\frac{\partial}{\partial b }\right )^n e^{\frac{b^2}{2a}}\right]_{b=0}
 +
\end{aligned}
 +
</math>
 +
* [[윅 정리 (Wick theorem)]] 참조
 +
* 테이블은 다음과 같다
 +
:<math>
 +
\begin{array}{c|c}
 +
n & \sqrt{\frac{a}{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}x^n e^{-\frac{a x^2}{2}}\,dx  \\
 +
\hline
 +
0 & 1 \\
 +
\hline
 +
1 & 0 \\
 +
\hline
 +
2 & \frac{1}{a} \\
 +
\hline
 +
3 & 0 \\
 +
\hline
 +
4 & \frac{3}{a^2} \\
 +
\hline
 +
5 & 0 \\
 +
\hline
 +
6 & \frac{15}{a^3} \\
 +
\hline
 +
7 & 0 \\
 +
\hline
 +
8 & \frac{105}{a^4} \\
 +
\hline
 +
9 & 0 \\
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
* 다음이 성립한다
 +
:<math>
 +
\int_{-\infty}^{\infty}x^{2n} e^{-\frac{a x^2}{2}}\,dx=\frac{(2n-1)(2n-3)\cdots 1}{a^n}
 +
</math>
  
−
 
+
  
−
극좌표 치환이 사용되었다.
+
==고차원에서 가우시안 적분==
 +
* A : 양의 정부호인 nxn 대칭행렬
 +
* 가우시안 적분
 +
:<math>\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\mathbf{x}^TA\mathbf{x}}d\mathbf{x}=\frac{\pi^{n/2}}{\sqrt{\det{A}}}</math>
 +
* [[n차원 가우시안 적분]] 항목 참조
 +
  
−
 
+
  
−
<math>\int\int_{\mathbb{R}^2}e^{-x^2-y^2}dA= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2-y^2}dxdy=(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}dy)=(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)^2</math>
+
==역사==
  
−
 
+
* [[수학사 연표]]
  
−
<math>\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx =\sqrt{\pi}</math>
+
  
−
<math>x=\frac{t}{\sqrt{2}}</math> 로 치환하면,  <math>\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}</math> 을 얻는다
+
  
−
 
+
  
−
 
+
==재미있는 사실==
  
−
<h5>감마함수와의 관계</h5>
+
S. P. Thompson: "Once when lecturing in class he [the Lord Kelvin] used the word 'mathematician' and then interrupting himself asked his class: 'Do you know what a mathematician is?' Stepping to his blackboard he wrote upon it: integral from - infinty to + infinity of exp(-x^2)dx = sqrt(pi). Then putting his finger on what he had written, he turned to his class and said, 'a mathematician is one to whom that is as obvious as that twice two makes four is to you.'" [TLWT]
  
−
* [[감마함수]]를 이용하여 가우시안 적분을 표현할 수 있다다<br><math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math><br><math>2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx =\sqrt{\pi}</math><br><math>x=\sqrt{t}</math>로 치환하면,<br><math>2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx= \int_0^\infty e^{-t} \ t^{-1/2} dt \, = \, \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)</math><br> 를 얻는다. 따라서<br><math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}</math><br>
+
http://zapatopi.net/kelvin/quotes/#math
−
*  더 일반적으로, 다음이 성립한다. <br><math>\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x^2}dx=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{n+1}{2})</math><br>
 
  
−
 
+
  
−
 
+
  
−
<h5>역사</h5>
+
==메모==
−
 
 
−
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
<h5>메모</h5>
 
  
 
함수 <math>e^{-x^2}</math> 는 정규분포함수에도 등장한다.
 
함수 <math>e^{-x^2}</math> 는 정규분포함수에도 등장한다.
62번째 줄: 119번째 줄:
 
평균이 <math>\mu</math> 이고 분산이 <math>\sigma^2</math> 인 정규분포를 따르는 확률변수의 확률밀도함수는 <math>f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}</math> 와 같이 쓸 수 있다.
 
평균이 <math>\mu</math> 이고 분산이 <math>\sigma^2</math> 인 정규분포를 따르는 확률변수의 확률밀도함수는 <math>f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}</math> 와 같이 쓸 수 있다.
  
−
계수에서 등장하는 <math>(2\pi)^{-\frac{1}{2}}</math> 는, 확률밀도함수의 정규화(전사건의 확률이 1이 되도록 해 주는 것)를 위한 것이다. 즉, <math>e^{- \frac{x^2}{2\sigma^2}}</math> 를 실수 전체에서 적분하면 <math>\sqrt{2\pi}\sigma</math> 가 된다.
+
계수에서 등장하는 <math>\sqrt{2\pi}</math> 는, 확률밀도함수의 정규화(전사건의 확률이 1이 되도록 해 주는 것)를 위한 것이다. 즉, <math>e^{- \frac{x^2}{2\sigma^2}}</math> 를 실수 전체에서 적분하면 <math>\sqrt{2\pi}\sigma</math> 가 된다.
  
−
 
+
  
−
<h5>관련된 항목들</h5>
+
 +
 
 +
==관련된 항목들==
  
 
* [[정규분포와 그 확률밀도함수]]
 
* [[정규분포와 그 확률밀도함수]]
 
* [[파이가 아니라 2파이다?]]
 
* [[파이가 아니라 2파이다?]]
  
−
 
+
  
−
 
+
  
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
+
  
−
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
+
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
  
−
 
+
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxRWwzSzctR1gxdlU/edit
 +
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 +
** http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_931.htm
 +
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=Gaussian
 +
  
−
 
+
  
−
<h5>사전 형태의 자료</h5>
+
==사전 형태의 자료==
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
−
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral ]http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral
+
* http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_function
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_function
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=Gaussian
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
−
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
−
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
<h5>관련논문</h5>
 
−
 
−
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
−
* http://dx.doi.org/
 
−
 
−
 
 
−
 
−
<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
 
−
 
−
*  도서내검색<br>
 
−
** http://books.google.com/books?q=
 
−
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
−
*  도서검색<br>
 
−
** http://books.google.com/books?q=
 
−
** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
−
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
  
−
<h5>관련기사</h5>
+
  
−
*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
 
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
  
−
 
+
==블로그==
  
−
 
+
* http://sciphy.tistory.com/1143
  
−
<h5>블로그</h5>
+
[[분류:원주율]]
 +
[[분류:목록]]
 +
[[분류:적분]]
  
−
* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
+
==메타데이터==
−
* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
+
===위키데이터===
−
* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
+
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1060321 Q1060321]
−
* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
+
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'gaussian'}, {'LEMMA': 'integral'}]
 +
* [{'LOWER': 'euler'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'poisson'}, {'LEMMA': 'integral'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:57 기준 최신판

개요

  • 가우시안 적분(Gaussian integral)

\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}\] \[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\] \[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}ax^2}dx=\sqrt{\frac{2\pi}{a}}\] \[\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{1}{2}aix^2}dx=\sqrt{\frac{2\pi i }{a}}\]

  • \(e^{-x^2}\) 의 부정적분은 초등함수로 표현할 수 없다
  • 부정적분을 초등함수로 표현할 수 없으나 \((-\infty,\infty)\) 에서의 정적분을 계산할 수 있다.
  • 가우시안 적분은 유리수에서의 감마함수의 값으로 표현할 수 있다
  • 1차항이 있는 경우의 가우시안 적분은 다음과 같이 주어진다

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}ax^2+bx} dx=\sqrt{ \frac{2\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{2a}} \]

극좌표 치환을 이용한 계산

  • 극좌표계로의 치환 \(x = r \cos \theta, y = r \sin \theta\)을 이용하여 다음을 얻는다

\[ \begin{aligned} \int\int_{\mathbb{R}^2}e^{-x^2-y^2}dA=& \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdrd\theta \\ {}=& 2\pi\int_{0}^{\infty}re^{-r^2}dr \\ {}=& 2\pi[-\frac{1}{2}e^{r^2}]_{0}^{\infty}\\ {}=& \pi \end{aligned} \]

이제 \[\int\int_{\mathbb{R}^2}e^{-x^2-y^2}dA= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2-y^2}dxdy=(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}dy)=(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)^2\] 로부터, \(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx =\sqrt{\pi}\)을 얻는다. \(x=\frac{t}{\sqrt{2}}\) 로 치환하면, 다음을 얻는다. \[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\]


감마함수와의 관계

  • 감마함수를 이용하여 가우시안 적분을 표현할 수 있다\[\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\]\[2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx =\sqrt{\pi}\]
  • \(x=\sqrt{t}\)로 치환하면,\[2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx= \int_0^\infty e^{-t} \ t^{-1/2} dt \, = \, \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\] 를 얻는다. 따라서\[\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\]
  • 더 일반적으로, 다음이 성립한다. \[\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x^2}dx=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{n+1}{2})\]\[\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x^m}dx=\frac{1}{m}\Gamma(\frac{n+1}{m})\]



일반화

  • 정수 \(n\ge 0\)에 대하여,

\[ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}x^n e^{-\frac{a x^2}{2}}\,dx=& \left[\left(\frac{\partial}{\partial b }\right )^n \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{a x^2}{2}+b x}\,dx\right]_{b=0}\\ {}=& \sqrt{\frac{2\pi}{a}}\left[\left(\frac{\partial}{\partial b }\right )^n e^{\frac{b^2}{2a}}\right]_{b=0} \end{aligned} \]

\[ \begin{array}{c|c} n & \sqrt{\frac{a}{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}x^n e^{-\frac{a x^2}{2}}\,dx \\ \hline 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 \\ \hline 2 & \frac{1}{a} \\ \hline 3 & 0 \\ \hline 4 & \frac{3}{a^2} \\ \hline 5 & 0 \\ \hline 6 & \frac{15}{a^3} \\ \hline 7 & 0 \\ \hline 8 & \frac{105}{a^4} \\ \hline 9 & 0 \\ \end{array} \]

  • 다음이 성립한다

\[ \int_{-\infty}^{\infty}x^{2n} e^{-\frac{a x^2}{2}}\,dx=\frac{(2n-1)(2n-3)\cdots 1}{a^n} \]


고차원에서 가우시안 적분

  • A : 양의 정부호인 nxn 대칭행렬
  • 가우시안 적분

\[\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\mathbf{x}^TA\mathbf{x}}d\mathbf{x}=\frac{\pi^{n/2}}{\sqrt{\det{A}}}\]



역사




재미있는 사실

S. P. Thompson: "Once when lecturing in class he [the Lord Kelvin] used the word 'mathematician' and then interrupting himself asked his class: 'Do you know what a mathematician is?' Stepping to his blackboard he wrote upon it: integral from - infinty to + infinity of exp(-x^2)dx = sqrt(pi). Then putting his finger on what he had written, he turned to his class and said, 'a mathematician is one to whom that is as obvious as that twice two makes four is to you.'" [TLWT]

http://zapatopi.net/kelvin/quotes/#math



메모

함수 \(e^{-x^2}\) 는 정규분포함수에도 등장한다.

평균이 \(\mu\) 이고 분산이 \(\sigma^2\) 인 정규분포를 따르는 확률변수의 확률밀도함수는 \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\) 와 같이 쓸 수 있다.

계수에서 등장하는 \(\sqrt{2\pi}\) 는, 확률밀도함수의 정규화(전사건의 확률이 1이 되도록 해 주는 것)를 위한 것이다. 즉, \(e^{- \frac{x^2}{2\sigma^2}}\) 를 실수 전체에서 적분하면 \(\sqrt{2\pi}\sigma\) 가 된다.



관련된 항목들




매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전 형태의 자료



블로그

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'gaussian'}, {'LEMMA': 'integral'}]
  • [{'LOWER': 'euler'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'poisson'}, {'LEMMA': 'integral'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=1차원_가우시안_적분&oldid=52179"