1차원 n-벡터 모형

제목 그대로 1차원 격자 위에 n-벡터 스핀들이 놓여있고 이들이 강자성 상호작용을 할 때를 생각해보겠습니다. 이징 모형은 n=1인 경우인데요, 이때 스핀들은 +1 또는 -1 중 하나의 값만을 갖습니다. 하지만 n이 2 이상이 되면 스핀의 값은 연속적으로 변할 수 있으며 이렇게 띄엄띄엄한 값에서 연속적인 값으로 변하면서 질적으로 다른 결과들이 나타난다고 합니다. 일반적인 n에 대한 문제를 처음 푼 사람은 스탠리(H.E. Stanley)라고 하네요. 1969년에 그가 쓴 논문들을 참고할 수 있겠네요. 참고로 이 글은 초구에 관한 앞 글에서 잠깐 말했던 패쓰리아(발음이 맞는지;;;)의 <통계역학> 12.2 절을 정리한 겁니다.

N개의 스핀이 1차원 격자 위에 놓여 있다고 합시다. 왼쪽 끝 스핀과 오른쪽 끝 스핀이 이어져 있지 않은 '열린 경계조건'을 이용합니다. 해밀토니안은 다음과 같습니다.

\(H_N\{\sigma_i\}=-\sum_{i=1}^{N-1}J_i\sigma_i\cdot\sigma_{i+1}\)

분배함수는 다음과 같습니다.

\(Q_N=\int\frac{d\Omega_1}{\Omega(n)}\cdots\frac{d\Omega_N}{\Omega(n)}\prod_{i=1}^{N-1}e^{\beta J_i\sigma_i\cdot\sigma_{i+1}}\)

각 dΩ는 각 스핀의 입체각(solid angle) 요소를 나타내며, Ω(n)은 n차원 공간의 총입체각이며 이미 앞 글에서 계산했습니다.

\(\Omega(n)=nC_n=2\pi^{n/2}/\Gamma(n/2)\)

각 스핀의 입체각에 대한 적분을 모든 스핀에 대해 해줘야 하는데 일단 다른 스핀들이 고정되어 있다고 하고 N번째 스핀에 대해서만 적분을 하겠습니다. N-1번째 스핀의 방향을 N번째 스핀의 극축(polar axis)으로 잡고 하면 계산이 좀더 편해지겠죠. dΩ_N은 앞 글의 dV_n에서 r에 관한 부분만 빼고 가져다 쓰면 됩니다. 그리고 N-1번째 스핀과 이루는 각도(dVn에서는 를 제외하고 나머지 각도들은 그냥 적분해버리면 되므로