1차원 n-벡터 모형

제목 그대로 1차원 격자 위에 n-벡터 스핀들이 놓여있고 이들이 강자성 상호작용을 할 때를 생각해보겠습니다. 스핀 벡터는 그 크기가 1로 일정하다고 합시다. 이징 모형은 n=1인 경우인데요, 이때 스핀들은 +1 또는 -1 중 하나의 값만을 갖습니다. 하지만 n이 2 이상이 되면 스핀의 값은 연속적으로 변할 수 있으며 이렇게 띄엄띄엄한 값에서 연속적인 값으로 변하면서 질적으로 다른 결과들이 나타난다고 합니다. 일반적인 n에 대한 문제를 처음 푼 사람은 스탠리(H.E. Stanley)라고 하네요. 1969년에 그가 쓴 논문들을 참고할 수 있겠네요. 참고로 이 글은 초구에 관한 앞 글에서 잠깐 말했던 패쓰리아(발음이 맞는지;;;)의 <통계역학> 12.2 절을 정리한 겁니다.

N개의 스핀이 1차원 격자 위에 놓여 있다고 합시다. 왼쪽 끝 스핀과 오른쪽 끝 스핀이 이어져 있지 않은 '열린 경계조건'을 이용합니다. 해밀토니안은 다음과 같습니다.

\(H_N\{\sigma_i\}=-\sum_{i=1}^{N-1}J_i\sigma_i\cdot\sigma_{i+1}\)

분배함수는 다음과 같습니다.

\(Q_N=\int\frac{d\Omega_1}{\Omega(n)}\cdots\frac{d\Omega_N}{\Omega(n)}\prod_{i=1}^{N-1}e^{\beta J_i\sigma_i\cdot\sigma_{i+1}}\)

각 dΩ는 각 스핀의 입체각(solid angle) 요소를 나타내며, Ω(n)은 n차원 공간의 총입체각이며 이미 앞 글에서 계산했습니다.

\(\Omega(n)=nC_n=2\pi^{n/2}/\Gamma(n/2)\)

각 스핀의 입체각에 대한 적분을 모든 스핀에 대해 해줘야 하는데 일단 다른 스핀들이 고정되어 있다고 하고 N번째 스핀에 대해서만 적분을 하겠습니다. N-1번째 스핀의 방향을 N번째 스핀의 극축(polar axis)으로 잡고 하면 계산이 좀더 편해지겠죠. dΩ_N은 앞 글의 dV_n에서 r에 관한 부분만 빼고 가져다 쓰면 됩니다. 그리고 N-1번째 스핀과 이루는 각도(dV_n에서는 φ₁에 해당하며 여기서는 θ로 씁니다.)를 제외하고 나머지 각도들은 그냥 적분해버리면 되므로 결국 아래 왼쪽 적분만 남고 그 결과는 아래 오른쪽 식입니다.

\(\int_0^\pi e^{\beta J_{N-1}\cos\theta}\sin^{n-2}\theta d\theta=\frac{\pi^{1/2}\Gamma (\frac{n-1}{2})}{(\frac{1}{2}\beta J_{N-1})^{(n-2)/2}}I_{(n-2)/2}(\beta J_{N-1})\)

...그랬다고 합니다. (실질객관동화 버전;;;) 여기서 I는 변형베셀함수(modified Bessel function)이며 다음처럼 쓸 수 있습니다.

\(I_n(x)=\sum_{s=0}^\infty \frac{(x/2)^{2s+n}}{s!(s+n)!}=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}e^{x\cos\theta}\cos(n\theta)d\theta\)

N번째 스핀에 대해서 적분한 결과가 N-1번째 스핀의 방향과는 무관하다는 걸 알 수 있습니다. 그렇다면 N-2번째 스핀이 고정되어 있다고 하고 N-1번째 스핀에 대해 적분해도 역시 위와 같은 결과가 나오겠죠. 이를 계속 되풀이하면 다음의 결론을 얻습니다.

\(Q_N=\prod_{i=1}^{N-1}\frac{\Gamma(n/2)}{(\frac{1}{2}\beta J_i)^{(n-2)/2}}I_{(n-2)/2}}(\beta J_i)\)

이 결과는 '정확한(exact; 어림을 전혀 하지 않은)' 결과이며 n=1을 대입하면 이징 모형의 결과를 그대로 얻을 수 있습니다. 이 분배함수는 모든 유한한 β에 대해 해석적이므로 상전이가 나타나지 않는다고 말할 수 있습니다. 그럼 β가 무한할 때는? 즉 온도가 0일 때에는 상전이가 있습니다. 온도가 0(0도씨가 아니라)이면 열에 의한 요동이 0이므로 모든 스핀이 같은 방향을 향하는 질서 상태가 됩니다. 반면 온도가 0보다 조금이라도 크면 무질서해집니다.

이제, 이웃한 두 스핀의 상관함수를 다음처럼 구할 수 있습니다.

\(g_k(n.n.)\equiv \langle \sigma_k\cdot\sigma_{k+1}\rangle = \frac{1}{Q_N}\left(\frac{1}{\beta}\frac{\partial}{\partial J_k}\right)Q_N=\frac{I_{n/2}(\beta J_k)}{I_{(n-2)/2}(\beta J_k)}\)

내부에너지는 정의에 따라 다음과 같습니다.

\(U_0\equiv -\frac{\partial}{\partial\beta}\ln Q_N=-\sum_{i=0}^{N-1}J_i\frac{I_{n/2}(\beta J_i)}{I_{(n-2)/2}(\beta J_i)}\)

다음으로 거리가 r만큼 떨어져 있는 두 스핀 사이의 상관함수를 구합니다. 간단한 경우로 n=3인 경우의 k번째 스핀과 k+2번째 스핀 사이의 상관함수를 생각해보겠습니다. 이 두 스핀의 방향은 k+1번째 스핀이 가리키는 방향을 기준으로 쓸 수 있습니다. k번째와 k+2번째 스핀의 방향을 각각 (θ₀, φ₀), (θ₂, φ₂)라고 하면,

\(g_k(r=2)&\equiv& \langle \sigma_k\cdot\sigma_{k+2}\rangle=\langle \cos\theta_{k,k+2}\rangle\\ &=&\langle\cos\theta_0\cos\theta_2+\sin\theta_0\sin\theta_2\cos(\phi_0-\phi_2)\rangle\)

입니다. k+1번째 스핀이 고정되어 있다면 양옆의 이웃한 스핀들은 서로 무관한 방향을 가리킬 거라고 하는데요, 스핀 사이의 강자성 상호작용이 존재하는데 무관하다고 가정할 수 있는지 잘 모르겠습니다. 무관하다고 한다면, 마지막 줄의 두번째 코사인항의 앙상블 평균은 0이 될 거고, θ₀과 θ₂도 무관할테니까 위식은 다음처럼 쓸 수 있습니다.

\(g_k(2)=\langle\cos\theta_0\rangle\langle\cos\theta_2\rangle=\langle\sigma_k\cdot\sigma_{k+1}\rangle\langle\sigma_{k+1}\cdot\sigma_{k+2}\rangle\)

이걸 일반화하면 됩니다.

\(g_k(r)=\prod_{i=k}^{k+r-1}g_i(n.n.)=\prod_{i=k}^{k+r-1}I_{n/2}(\beta J_i)/I_{(n-2)/2}(\beta J_i)\)

이제 구할 건 거의 다 구했습니다. J_i가 모든 i에 대해 똑같이 J라면, 더 깔끔하게 씌어지겠죠. 특히 상관함수로부터 상관길이를 얻어낼 수 있습니다.

\(g_k(r)=[I_{n/2}(\beta J)/I_{(n-2)/2}(\beta J)]^r\equiv e^{-r/\xi}\)

\(\xi=[\ln\{I_{(n-2)/2}(\beta J)/I_{n/2}(\beta J)\}]^{-1}\)

아직 끝나지 않았군요. 온도가 0 근처일 때(즉 β가 매우 클 때) 나타나는 상전이의 임계지수를 얻기 위해 변형베셀함수를 전개하겠습니다. x가 매우 크다면,

\(I_\mu(x)=\frac{e^x}{\sqrt{2\pi x}}\left[1-\frac{4\mu^2-1}{8x}+\cdots\right]\)
이라고 합니다. 일단 n이 2이상인 경우만 위의 전개를 이용하겠습니다.

\(g(n.n.)\approx 1-\frac{n-1}{2\beta J},U_0\approx -(N-1)J\left[1-\frac{n-1}{2\beta J}\right],\xi\approx \frac{2\beta J}{n-1}\sim T^{-1}\)

위 마지막 식에서 상관길이의 임계지수 ν는 1이라는 결과가 나옵니다. 또한 U₀를 T로 미분하면 비열(specific heat)이 얻어집니다.

\(C_0\approx(N-1)\cdot\frac{1}{2}(n-1)k\)

이걸 보면 온도가 없으므로 비열의 임계지수 α는 0인 것 같은데요, 위의 변형베셀함수를 저 다음항까지 전개하면 T에 관한 항이 나오고 이로 인해 α가 1이 된다고 합니다.

이제 이 결과들을 n=1인 경우와 비교해보겠습니다. n=1일 때는 변형베셀함수의 정확한 형태를 쓰고나서