"2차원 이징 모형의 크라머르스-바니어 쌍대성"의 두 판 사이의 차이
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| − | * 원환면에 놓인 | + | * 원환면에 놓인 <math>M\times N</math> 크기 2차원 사각격자 <math>L</math> |
* [[2차원 이징 모형 (사각 격자)]]의 해밀토니안을 다음과 같이 정의 | * [[2차원 이징 모형 (사각 격자)]]의 해밀토니안을 다음과 같이 정의 | ||
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-\beta H(\{s\})=-\sum_{n=1}^N\sum_{m=1}^M (K s_{m,n}s_{m+1,n}+K s_{m,n}s_{m,n+1}) | -\beta H(\{s\})=-\sum_{n=1}^N\sum_{m=1}^M (K s_{m,n}s_{m+1,n}+K s_{m,n}s_{m,n+1}) | ||
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* 분배함수 | * 분배함수 | ||
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Z =\sum_{\{s\}} e^{-\beta H(\{s\})} \label{Zustandssumme} | Z =\sum_{\{s\}} e^{-\beta H(\{s\})} \label{Zustandssumme} | ||
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| − | * 함수 | + | * 함수 <math>W:\mathbb{Z}/(2)\to \mathbb{R}</math>를 <math>W(0)=e^K</math>, <math>W(1)=e^K</math>로 정의하면 다음을 얻는다 |
| − | + | :<math>e^{-\beta H(\{s\})}=\prod_{\langle i,j \rangle}W(s_i-s_j \mod 2)</math> | |
| − | * 푸리에 변환 | + | * 푸리에 변환 <math>\widehat{W}</math>은 <math>W(0)=\widehat{W}(0)+\widehat{W}(1)</math>, <math>W(1)=\widehat{W}(0)-\widehat{W}(1)</math>을 만족 |
* 사각격자의 각 면마다 스핀을 배열하고 다음과 같은 볼츠만 가중치를 갖는 쌍대 모형을 정의할 수 있다 | * 사각격자의 각 면마다 스핀을 배열하고 다음과 같은 볼츠만 가중치를 갖는 쌍대 모형을 정의할 수 있다 | ||
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e^{-\beta \widehat{H}(\{\sigma\})}=\prod_{\langle \mu,\nu \rangle}\widehat{W}(\sigma_{\mu}-\sigma_{\nu} \mod 2) | e^{-\beta \widehat{H}(\{\sigma\})}=\prod_{\langle \mu,\nu \rangle}\widehat{W}(\sigma_{\mu}-\sigma_{\nu} \mod 2) | ||
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* 분배함수 \ref{Zustandssumme}는 다음을 만족한다 | * 분배함수 \ref{Zustandssumme}는 다음을 만족한다 | ||
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Z=2^{MN}\sum_{\{\sigma\}}\prod_{\langle \mu,\nu \rangle}\widehat{W}(\sigma_{\mu}-\sigma_{\nu} \mod 2) | Z=2^{MN}\sum_{\{\sigma\}}\prod_{\langle \mu,\nu \rangle}\widehat{W}(\sigma_{\mu}-\sigma_{\nu} \mod 2) | ||
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==임계온도== | ==임계온도== | ||
| − | * | + | * <math>\widehat{W}(0)=e^{\tilde{K}}</math>, <math>\widehat{W}(1)=e^{-\tilde{K}}</math>로 두면 두 결합상수 <math>K, \tilde{K}</math> 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다 |
| − | + | :<math> | |
\sinh(2K)\sinh(2\tilde K)=1 | \sinh(2K)\sinh(2\tilde K)=1 | ||
| − | + | </math> | |
| − | * 이징 모형이 | + | * 이징 모형이 <math>K=K_c</math>에서 임계점을 가지면, 쌍대 모형도 같은 곳에서 임계점을 가져야 한다 |
| − | * 따라서 이징 모형의 임계온도 | + | * 따라서 이징 모형의 임계온도 <math>K_c</math>가 유일하다고 가정하면 이는 다음을 만족한다 |
| − | + | :<math>\sinh(2K_c)^2=1</math> | |
* <math>K_c=\frac{1}{2}\ln(1+\sqrt2)=0.440687\cdots</math> | * <math>K_c=\frac{1}{2}\ln(1+\sqrt2)=0.440687\cdots</math> | ||
2020년 11월 13일 (금) 03:59 판
개요
- 원환면에 놓인 \(M\times N\) 크기 2차원 사각격자 \(L\)
- 2차원 이징 모형 (사각 격자)의 해밀토니안을 다음과 같이 정의
\[ -\beta H(\{s\})=-\sum_{n=1}^N\sum_{m=1}^M (K s_{m,n}s_{m+1,n}+K s_{m,n}s_{m,n+1}) \]
- 분배함수
\[ Z =\sum_{\{s\}} e^{-\beta H(\{s\})} \label{Zustandssumme} \]
- 함수 \(W:\mathbb{Z}/(2)\to \mathbb{R}\)를 \(W(0)=e^K\), \(W(1)=e^K\)로 정의하면 다음을 얻는다
\[e^{-\beta H(\{s\})}=\prod_{\langle i,j \rangle}W(s_i-s_j \mod 2)\]
- 푸리에 변환 \(\widehat{W}\)은 \(W(0)=\widehat{W}(0)+\widehat{W}(1)\), \(W(1)=\widehat{W}(0)-\widehat{W}(1)\)을 만족
- 사각격자의 각 면마다 스핀을 배열하고 다음과 같은 볼츠만 가중치를 갖는 쌍대 모형을 정의할 수 있다
\[ e^{-\beta \widehat{H}(\{\sigma\})}=\prod_{\langle \mu,\nu \rangle}\widehat{W}(\sigma_{\mu}-\sigma_{\nu} \mod 2) \]
- 분배함수 \ref{Zustandssumme}는 다음을 만족한다
\[ Z=2^{MN}\sum_{\{\sigma\}}\prod_{\langle \mu,\nu \rangle}\widehat{W}(\sigma_{\mu}-\sigma_{\nu} \mod 2) \]
임계온도
- \(\widehat{W}(0)=e^{\tilde{K}}\), \(\widehat{W}(1)=e^{-\tilde{K}}\)로 두면 두 결합상수 \(K, \tilde{K}\) 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다
\[ \sinh(2K)\sinh(2\tilde K)=1 \]
- 이징 모형이 \(K=K_c\)에서 임계점을 가지면, 쌍대 모형도 같은 곳에서 임계점을 가져야 한다
- 따라서 이징 모형의 임계온도 \(K_c\)가 유일하다고 가정하면 이는 다음을 만족한다
\[\sinh(2K_c)^2=1\]
- \(K_c=\frac{1}{2}\ln(1+\sqrt2)=0.440687\cdots\)
사전 형태의 자료
에세이, 리뷰, 강의노트
관련논문
- Kramers, H. A., and G. H. Wannier. “Statistics of the Two-Dimensional Ferromagnet. Part I.” Physical Review 60, no. 3 (August 1, 1941): 252–62. doi:10.1103/PhysRev.60.252.