2차원 회전 변환과 SO(2)

개요

평면에서 원점을 중심으로 각도 $\theta $ 만큼의 회전시키는 변환 $R_{\theta}: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$은 다음 행렬로 표현된다 \[R_{\theta}=\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\]
두 회전변환 $R_{\theta_1}$과 $R_{\theta_2}$의 합성 $R_{\theta_2}\circ R_{\theta_1}$은 또다른 회전변환 $R_{\theta_1+\theta_2}$과 같으며, 이는 삼각함수의 덧셈공식을 통해 이해할 수 있다 \[\begin{pmatrix}\cos \theta_1 & -\sin \theta_1 \\ \sin \theta_1 & \cos \theta_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos \theta_2 & -\sin \theta_2 \\ \sin \theta_2 & \cos \theta_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (\theta_{1}+\theta_{2}) & -\sin (\theta_{1}+\theta_{2}) \\ \sin (\theta_{1}+\theta_{2}) & \cos (\theta_{1}+\theta_{2}) \end{pmatrix}\]
2차원 회전변환들의 집합은 군의 구조를 갖는다
단위원과 평면의 회전변환 군은 군론의 입장에서 같다

$(x',y')=(x \cos (\theta )-y \sin (\theta ),x \sin (\theta )+y \cos (\theta ) )$이면, $x^2+y^2=(x')^2+(y')^2$ 이 성립한다