2-term 다이로그 항등식 (dilogarithm identities) 과 행렬

수학노트
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개요

$$ \left\{ \begin{array}{c} 1-x_ 1=x_ 1^{a} x_ 2^{b} \\ 1-x_ 2=x_ 1^{b} x_ 2^{c} \\ 0<x_i<1, \, i=1,2 \end{array} \right.$$


쌍대성

  • 두 2x2 행렬 A , B 가 서로 역행렬일때,
  • \(L(x)+L(1-x)=2L(1)\)\[\log (1-x)=A\log x\]\[\log x=A^{-1}\log (1-x)\]


행렬의 예

  • complete list of the form \( \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}\) only a+b = 2,1,1/2,0 allowed

\[ \begin{bmatrix} a & 2-a \\ 2-a & a \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a & 1-a \\ 1-a & a \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a & 1/2-a \\ 1/2-a & a \end{bmatrix},\begin{bmatrix} a & -a \\ -a & a \end{bmatrix}\]

  • complete list of the form \( \begin{bmatrix} 2a & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)

\[ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \infty & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\]

  • M(3,5)\[\left[ \begin{array}{cc} 5/2 & 2 \\ 2 & 2 \end{array} \right]\]
  • M(3,4)\[ \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\]
  • M(2,5)\[ \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}\]
  • M(6,7)\[ \begin{bmatrix} 4/3 & 1/3 \\ 1/3 & 2/3 \end{bmatrix}\]
  • d=0 case (not positive definite)\[ \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 8/9 & 1/3 \\ 1/3 & 0 \end{bmatrix}\]


  • 다음 행렬 $$\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$에 대응되는 다이로그 항등식

$$ L\left(\sqrt{\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)}\right)+L\left(\frac{1}{2} \left(-2 \sqrt{2+\sqrt{5}}+\sqrt{5}+3\right)\right)=\frac{13}{10}L(1) $$

을 증명하려 한다

  • 방정식

$$ \left\{ \begin{array}{c} 1-x_ 1=x_ 1^{4} x_ 2 \\ 1-x_ 2=x_ 1 x_ 2 \\ 0<x_i<1, \, i=1,2 \end{array} \right.$$ 의 해는 $x_1=y, x_2=\frac{1}{1+y}$로 주어진다. 여기서 $0<y<1$는 $y^4+y^2-1=0$의 해

$$ L(u)+L(v)=L(u v)+L(\frac{u(1-v)}{1-u v})+L(\frac{v(1-u)}{1-u v}) $$ 에 $u=y, v=\frac{1}{1+y}$을 적용하면, $$ L(y)+L (\frac{1}{1+y})=L(\frac{y}{y+1})+L(y^2)+L(1-y) \tag{1} $$

$$ L(x)+L(1-x)=L(1) $$ 을 이용하면, (1)로부터 다음을 얻는다 $$ 2L(y)+2L (\frac{1}{1+y})=2L(1)+L(y^2) $$

  • $y^2=\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)$이므로, $L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{3}{5}L(1)$
  • 따라서,

$$ L(y)+L (\frac{1}{1+y})=L(1)+\frac{3}{10}L(1)=\frac{13}{10}L(1) $$


역사



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