"2-term 다이로그 항등식 (dilogarithm identities) 과 행렬"의 두 판 사이의 차이
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* [[로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm)]] 가 적당한 유리수 <math>r_A</math>에 대하여 다음을 만족하는 행렬을 분류하는 문제:<math>L(x_ 1)+L(x_ 2)=r_{A}L(1)</math> | * [[로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm)]] 가 적당한 유리수 <math>r_A</math>에 대하여 다음을 만족하는 행렬을 분류하는 문제:<math>L(x_ 1)+L(x_ 2)=r_{A}L(1)</math> | ||
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==쌍대성== | ==쌍대성== | ||
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| − | * <math>L(x)+L(1-x)=2L(1)</math>:<math>\log (1-x)=A\log x</math>:<math>\log x=A^{-1}\log (1-x)</math | + | * <math>L(x)+L(1-x)=2L(1)</math>:<math>\log (1-x)=A\log x</math>:<math>\log x=A^{-1}\log (1-x)</math> |
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:<math> \begin{bmatrix} a & 2-a \\ 2-a & a \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a & 1-a \\ 1-a & a \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a & 1/2-a \\ 1/2-a & a \end{bmatrix},\begin{bmatrix} a & -a \\ -a & a \end{bmatrix}</math> | :<math> \begin{bmatrix} a & 2-a \\ 2-a & a \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a & 1-a \\ 1-a & a \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a & 1/2-a \\ 1/2-a & a \end{bmatrix},\begin{bmatrix} a & -a \\ -a & a \end{bmatrix}</math> | ||
* complete list of the form <math> \begin{bmatrix} 2a & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math> | * complete list of the form <math> \begin{bmatrix} 2a & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math> | ||
| − | :<math> \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \infty & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math | + | :<math> \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \infty & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math> |
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| − | * M(3,4):<math> \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}</math | + | * M(3,4):<math> \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}</math> |
| − | * M(2,5):<math> \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}</math | + | * M(2,5):<math> \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}</math> |
| − | * M(6,7):<math> \begin{bmatrix} 4/3 & 1/3 \\ 1/3 & 2/3 \end{bmatrix}</math | + | * M(6,7):<math> \begin{bmatrix} 4/3 & 1/3 \\ 1/3 & 2/3 \end{bmatrix}</math> |
| − | * d=0 case (not positive definite):<math> \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 8/9 & 1/3 \\ 1/3 & 0 \end{bmatrix}</math | + | * d=0 case (not positive definite):<math> \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 8/9 & 1/3 \\ 1/3 & 0 \end{bmatrix}</math> |
==예== | ==예== | ||
| − | * 다음 행렬 | + | * 다음 행렬 :<math>\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math>에 대응되는 다이로그 항등식 |
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L\left(\sqrt{\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)}\right)+L\left(\frac{1}{2} \left(-2 \sqrt{2+\sqrt{5}}+\sqrt{5}+3\right)\right)=\frac{13}{10}L(1) | L\left(\sqrt{\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)}\right)+L\left(\frac{1}{2} \left(-2 \sqrt{2+\sqrt{5}}+\sqrt{5}+3\right)\right)=\frac{13}{10}L(1) | ||
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을 증명하려 한다 | 을 증명하려 한다 | ||
* 방정식 | * 방정식 | ||
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0<x_i<1, \, i=1,2 | 0<x_i<1, \, i=1,2 | ||
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| − | 의 해는 | + | 의 해는 <math>x_1=y, x_2=\frac{1}{1+y}</math>로 주어진다. 여기서 <math>0<y<1</math>는 <math>y^4+y^2-1=0</math>의 해 |
* [[5항 관계식 (5-term relation)]] | * [[5항 관계식 (5-term relation)]] | ||
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L(u)+L(v)=L(u v)+L(\frac{u(1-v)}{1-u v})+L(\frac{v(1-u)}{1-u v}) | L(u)+L(v)=L(u v)+L(\frac{u(1-v)}{1-u v})+L(\frac{v(1-u)}{1-u v}) | ||
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| − | 에 | + | 에 <math>u=y, v=\frac{1}{1+y}</math>을 적용하면, |
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L(y)+L (\frac{1}{1+y})=L(\frac{y}{y+1})+L(y^2)+L(1-y) \label{y5} | L(y)+L (\frac{1}{1+y})=L(\frac{y}{y+1})+L(y^2)+L(1-y) \label{y5} | ||
| − | + | </math> | |
* [[함수 다이로그 항등식(functional dilogarithm identity)]] | * [[함수 다이로그 항등식(functional dilogarithm identity)]] | ||
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L(x)+L(1-x)=L(1) | L(x)+L(1-x)=L(1) | ||
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을 이용하면, \ref{y5}로부터 다음을 얻는다 | 을 이용하면, \ref{y5}로부터 다음을 얻는다 | ||
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2L(y)+2L (\frac{1}{1+y})=2L(1)+L(y^2) | 2L(y)+2L (\frac{1}{1+y})=2L(1)+L(y^2) | ||
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| − | * | + | * <math>y^2=\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)</math>이므로, <math>L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{3}{5}L(1)</math> |
* 따라서, | * 따라서, | ||
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L(y)+L (\frac{1}{1+y})=L(1)+\frac{3}{10}L(1)=\frac{13}{10}L(1) | L(y)+L (\frac{1}{1+y})=L(1)+\frac{3}{10}L(1)=\frac{13}{10}L(1) | ||
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==메모== | ==메모== | ||
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q= | * Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q= | ||
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==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxeWplbkFwR0RPWlU/edit | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxeWplbkFwR0RPWlU/edit | ||
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트== | ==리뷰논문, 에세이, 강의노트== | ||
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
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* Terhoeven thesis http://www.th.physik.uni-bonn.de/th/Database/Doktor/terhoeven.ps.gz | * Terhoeven thesis http://www.th.physik.uni-bonn.de/th/Database/Doktor/terhoeven.ps.gz | ||
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2020년 12월 28일 (월) 02:48 기준 최신판
개요
- 다이로그 항등식 (dilogarithm identities)
- 2x2 행렬\[A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ b & c \end{array} \right)\]에 대해서 다음과 같은 연립방정식을 생각
\[ \left\{ \begin{array}{c} 1-x_ 1=x_ 1^{a} x_ 2^{b} \\ 1-x_ 2=x_ 1^{b} x_ 2^{c} \\ 0<x_i<1, \, i=1,2 \end{array} \right.\]
- 로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm) 가 적당한 유리수 \(r_A\)에 대하여 다음을 만족하는 행렬을 분류하는 문제\[L(x_ 1)+L(x_ 2)=r_{A}L(1)\]
쌍대성
- 두 2x2 행렬 A , B 가 서로 역행렬일때,
- \(L(x)+L(1-x)=2L(1)\)\[\log (1-x)=A\log x\]\[\log x=A^{-1}\log (1-x)\]
행렬의 예
- complete list of the form \( \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}\) only a+b = 2,1,1/2,0 allowed
\[ \begin{bmatrix} a & 2-a \\ 2-a & a \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a & 1-a \\ 1-a & a \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a & 1/2-a \\ 1/2-a & a \end{bmatrix},\begin{bmatrix} a & -a \\ -a & a \end{bmatrix}\]
- complete list of the form \( \begin{bmatrix} 2a & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)
\[ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \infty & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\]
- M(3,5)\[\left[ \begin{array}{cc} 5/2 & 2 \\ 2 & 2 \end{array} \right]\]
- M(3,4)\[ \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\]
- M(2,5)\[ \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}\]
- M(6,7)\[ \begin{bmatrix} 4/3 & 1/3 \\ 1/3 & 2/3 \end{bmatrix}\]
- d=0 case (not positive definite)\[ \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 8/9 & 1/3 \\ 1/3 & 0 \end{bmatrix}\]
예
- 다음 행렬 \[\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\]에 대응되는 다이로그 항등식
\[ L\left(\sqrt{\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)}\right)+L\left(\frac{1}{2} \left(-2 \sqrt{2+\sqrt{5}}+\sqrt{5}+3\right)\right)=\frac{13}{10}L(1) \]
을 증명하려 한다
- 방정식
\[ \left\{ \begin{array}{c} 1-x_ 1=x_ 1^{4} x_ 2 \\ 1-x_ 2=x_ 1 x_ 2 \\ 0<x_i<1, \, i=1,2 \end{array} \right.\] 의 해는 \(x_1=y, x_2=\frac{1}{1+y}\)로 주어진다. 여기서 \(0<y<1\)는 \(y^4+y^2-1=0\)의 해
\[ L(u)+L(v)=L(u v)+L(\frac{u(1-v)}{1-u v})+L(\frac{v(1-u)}{1-u v}) \] 에 \(u=y, v=\frac{1}{1+y}\)을 적용하면, \[ L(y)+L (\frac{1}{1+y})=L(\frac{y}{y+1})+L(y^2)+L(1-y) \label{y5} \]
\[ L(x)+L(1-x)=L(1) \] 을 이용하면, \ref{y5}로부터 다음을 얻는다 \[ 2L(y)+2L (\frac{1}{1+y})=2L(1)+L(y^2) \]
- \(y^2=\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)\)이므로, \(L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{3}{5}L(1)\)
- 따라서,
\[ L(y)+L (\frac{1}{1+y})=L(1)+\frac{3}{10}L(1)=\frac{13}{10}L(1) \]
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
리뷰논문, 에세이, 강의노트
관련논문
- Bytsko, Andrei G. 1999. “Two-term Dilogarithm Identities Related to Conformal Field Theory.” Letters in Mathematical Physics. A Journal for the Rapid Dissemination of Short Contributions in the Field of Mathematical Physics 50 (3): 213–228. doi:http://dx.doi.org/10.1023/A:1007618823700.
- Terhoeven thesis http://www.th.physik.uni-bonn.de/th/Database/Doktor/terhoeven.ps.gz