"2-term 다이로그 항등식 (dilogarithm identities) 과 행렬"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
 
==개요==
  
 
* [[다이로그 항등식 (dilogarithm identities)]]
 
* [[다이로그 항등식 (dilogarithm identities)]]
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*  2x2 행렬<br><math>A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ b & c \end{array} \right)</math>에 대해서 다음과 같은 연립방정식을 생각
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*  2x2 행렬:<math>A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ b & c \end{array} \right)</math>에 대해서 다음과 같은 연립방정식을 생각
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$$
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:<math>
 
\left\{
 
\left\{
 
\begin{array}{c}
 
\begin{array}{c}
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0<x_i<1, \, i=1,2
 
0<x_i<1, \, i=1,2
 
\end{array}
 
\end{array}
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\right.$$
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\right.</math>
 
*  [[로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm)]] 가 적당한 유리수 <math>r_A</math>에 대하여 다음을 만족하는 행렬을 분류하는 문제:<math>L(x_ 1)+L(x_ 2)=r_{A}L(1)</math>
 
*  [[로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm)]] 가 적당한 유리수 <math>r_A</math>에 대하여 다음을 만족하는 행렬을 분류하는 문제:<math>L(x_ 1)+L(x_ 2)=r_{A}L(1)</math>
  
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==쌍대성==
 
==쌍대성==
  
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*  두 2x2 행렬 A , B 가 서로 역행렬일때,<br>
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*  두 2x2 행렬 A , B 가 서로 역행렬일때,
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* <math>L(x)+L(1-x)=2L(1)</math><br><math>\log (1-x)=A\log x</math><br><math>\log x=A^{-1}\log (1-x)</math><br>
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* <math>L(x)+L(1-x)=2L(1)</math>:<math>\log (1-x)=A\log x</math>:<math>\log x=A^{-1}\log (1-x)</math>
  
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==행렬의 예==
 
==행렬의 예==
  
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*  complete list of the form<br><math> \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}</math> only a+b = 2,1,1/2,0 allowed<br><math> \begin{bmatrix} a & 2-a \\ 2-a & a \end{bmatrix}</math><math> \begin{bmatrix} a & 1-a \\ 1-a & a \end{bmatrix}</math><math> \begin{bmatrix} a & 1/2-a \\ 1/2-a & a \end{bmatrix}</math><math> \begin{bmatrix} a & -a \\ -a & a \end{bmatrix}</math><br>
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*  complete list of the form <math> \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}</math> only a+b = 2,1,1/2,0 allowed
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*  complete list of the form<br><math> \begin{bmatrix} 2a & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math><br>  <math> \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math><math> \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math><math> \begin{bmatrix} 2 & 1  \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math><math> \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math><math> \begin{bmatrix} \infty & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math><br>
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:<math> \begin{bmatrix} a & 2-a \\ 2-a & a \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a & 1-a \\ 1-a & a \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a & 1/2-a \\ 1/2-a & a \end{bmatrix},\begin{bmatrix} a & -a \\ -a & a \end{bmatrix}</math>
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*  M(3,5)<br><math>\left[ \begin{array}{cc}  5/2 & 2 \\  2 & 2 \end{array} \right]</math><br>
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*  complete list of the form <math> \begin{bmatrix} 2a & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math>
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*  M(3,4)<br><math> \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}</math><math> \begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}</math><br>
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:<math> \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 & 1  \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \infty & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math>
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*  M(2,5)<br><math> \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}</math><br>
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*  M(3,5):<math>\left[ \begin{array}{cc}  5/2 & 2 \\  2 & 2 \end{array} \right]</math>
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*  M(6,7)<br><math> \begin{bmatrix} 4/3 & 1/3 \\ 1/3 & 2/3 \end{bmatrix}</math><br>
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*  M(3,4):<math> \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}</math>
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*  d=0 case (not positive definite)<br><math> \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{bmatrix}</math><br><math> \begin{bmatrix} 8/9 & 1/3 \\ 1/3 & 0 \end{bmatrix}</math><br>
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*  M(2,5):<math> \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}</math>
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*  M(6,7):<math> \begin{bmatrix} 4/3 & 1/3 \\ 1/3 & 2/3 \end{bmatrix}</math>
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*  d=0 case (not positive definite):<math> \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 8/9 & 1/3 \\ 1/3 & 0 \end{bmatrix}</math>
  
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==예==
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* 다음 행렬 :<math>\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math>에 대응되는 다이로그 항등식
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:<math>
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L\left(\sqrt{\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)}\right)+L\left(\frac{1}{2} \left(-2 \sqrt{2+\sqrt{5}}+\sqrt{5}+3\right)\right)=\frac{13}{10}L(1)
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</math>
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을 증명하려 한다
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* 방정식
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:<math>
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\left\{
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\begin{array}{c}
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  1-x_ 1=x_ 1^{4} x_ 2 \\
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1-x_ 2=x_ 1 x_ 2 \\
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0<x_i<1, \, i=1,2
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\end{array}
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\right.</math>
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의 해는 <math>x_1=y, x_2=\frac{1}{1+y}</math>로 주어진다. 여기서 <math>0<y<1</math>는 <math>y^4+y^2-1=0</math>의 해
 +
* [[5항 관계식 (5-term relation)]]
 +
:<math>
 +
L(u)+L(v)=L(u v)+L(\frac{u(1-v)}{1-u v})+L(\frac{v(1-u)}{1-u v})
 +
</math>
 +
에 <math>u=y, v=\frac{1}{1+y}</math>을 적용하면,
 +
:<math>
 +
L(y)+L (\frac{1}{1+y})=L(\frac{y}{y+1})+L(y^2)+L(1-y) \label{y5}
 +
</math>
 +
* [[함수 다이로그 항등식(functional dilogarithm identity)]]
 +
:<math>
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L(x)+L(1-x)=L(1)
 +
</math>
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을 이용하면, \ref{y5}로부터 다음을 얻는다
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:<math>
 +
2L(y)+2L (\frac{1}{1+y})=2L(1)+L(y^2)
 +
</math>
 +
* <math>y^2=\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)</math>이므로, <math>L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{3}{5}L(1)</math>
 +
* 따라서,
 +
:<math>
 +
L(y)+L (\frac{1}{1+y})=L(1)+\frac{3}{10}L(1)=\frac{13}{10}L(1)
 +
</math>
 +
 
  
 
==역사==
 
==역사==
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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* [[수학사 연표]]
  
 
   
 
   
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==메모==
 
==메모==
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 
* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
  
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
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* [[다이로그 항등식 (dilogarithm identities)]]
  
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxeWplbkFwR0RPWlU/edit
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==수학용어번역==
 
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*  단어사전<br>
 
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** http://translate.google.com/#en|ko|
 
−
** http://ko.wiktionary.org/wiki/
 
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* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
 
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
−
* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]
 
−
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
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==사전 형태의 자료==
 
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
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* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
 
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
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* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
 
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
 
==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
  
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==관련논문==
 
==관련논문==
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* Bytsko, Andrei G. 1999. “Two-term Dilogarithm Identities Related to Conformal Field Theory.” Letters in Mathematical Physics. A Journal for the Rapid Dissemination of Short Contributions in the Field of Mathematical Physics 50 (3): 213–228. doi:http://dx.doi.org/10.1023/A:1007618823700.
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* [http://arxiv.org/abs/math-ph/9911012 Two-term dilogarithm identities related to conformal field theory] Andrei G. Bytsko, 1999
 
 
* Terhoeven thesis http://www.th.physik.uni-bonn.de/th/Database/Doktor/terhoeven.ps.gz
 
* Terhoeven thesis http://www.th.physik.uni-bonn.de/th/Database/Doktor/terhoeven.ps.gz
  
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
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* http://www.ams.org/mathscinet
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[[분류:다이로그]]
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* http://dx.doi.org/
 
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==관련도서==
 
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* 도서내검색<br>
 
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** http://books.google.com/books?q=
 
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 

2020년 12월 28일 (월) 02:48 기준 최신판

개요

\[ \left\{ \begin{array}{c} 1-x_ 1=x_ 1^{a} x_ 2^{b} \\ 1-x_ 2=x_ 1^{b} x_ 2^{c} \\ 0<x_i<1, \, i=1,2 \end{array} \right.\]


쌍대성

  • 두 2x2 행렬 A , B 가 서로 역행렬일때,
  • \(L(x)+L(1-x)=2L(1)\)\[\log (1-x)=A\log x\]\[\log x=A^{-1}\log (1-x)\]


행렬의 예

  • complete list of the form \( \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}\) only a+b = 2,1,1/2,0 allowed

\[ \begin{bmatrix} a & 2-a \\ 2-a & a \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a & 1-a \\ 1-a & a \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a & 1/2-a \\ 1/2-a & a \end{bmatrix},\begin{bmatrix} a & -a \\ -a & a \end{bmatrix}\]

  • complete list of the form \( \begin{bmatrix} 2a & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)

\[ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \infty & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\]

  • M(3,5)\[\left[ \begin{array}{cc} 5/2 & 2 \\ 2 & 2 \end{array} \right]\]
  • M(3,4)\[ \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\]
  • M(2,5)\[ \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}\]
  • M(6,7)\[ \begin{bmatrix} 4/3 & 1/3 \\ 1/3 & 2/3 \end{bmatrix}\]
  • d=0 case (not positive definite)\[ \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 8/9 & 1/3 \\ 1/3 & 0 \end{bmatrix}\]


예

  • 다음 행렬 \[\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\]에 대응되는 다이로그 항등식

\[ L\left(\sqrt{\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)}\right)+L\left(\frac{1}{2} \left(-2 \sqrt{2+\sqrt{5}}+\sqrt{5}+3\right)\right)=\frac{13}{10}L(1) \]

을 증명하려 한다

  • 방정식

\[ \left\{ \begin{array}{c} 1-x_ 1=x_ 1^{4} x_ 2 \\ 1-x_ 2=x_ 1 x_ 2 \\ 0<x_i<1, \, i=1,2 \end{array} \right.\] 의 해는 \(x_1=y, x_2=\frac{1}{1+y}\)로 주어진다. 여기서 \(0<y<1\)는 \(y^4+y^2-1=0\)의 해

\[ L(u)+L(v)=L(u v)+L(\frac{u(1-v)}{1-u v})+L(\frac{v(1-u)}{1-u v}) \] 에 \(u=y, v=\frac{1}{1+y}\)을 적용하면, \[ L(y)+L (\frac{1}{1+y})=L(\frac{y}{y+1})+L(y^2)+L(1-y) \label{y5} \]

\[ L(x)+L(1-x)=L(1) \] 을 이용하면, \ref{y5}로부터 다음을 얻는다 \[ 2L(y)+2L (\frac{1}{1+y})=2L(1)+L(y^2) \]

  • \(y^2=\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)\)이므로, \(L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{3}{5}L(1)\)
  • 따라서,

\[ L(y)+L (\frac{1}{1+y})=L(1)+\frac{3}{10}L(1)=\frac{13}{10}L(1) \]


역사



메모



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


리뷰논문, 에세이, 강의노트

관련논문

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