2-term 다이로그 항등식 (dilogarithm identities) 과 행렬

개요

다이로그 항등식 (dilogarithm identities)
2x2 행렬\[A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ b & c \end{array} \right)\]에 대해서 다음과 같은 연립방정식을 생각

$$ \left\{ \begin{array}{c} 1-x_ 1=x_ 1^{a} x_ 2^{b} \\ 1-x_ 2=x_ 1^{b} x_ 2^{c} \\ 0<x_i<1, \, i=1,2 \end{array} \right.$$

로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm) 가 적당한 유리수 $r_A$에 대하여 다음을 만족하는 행렬을 분류하는 문제\[L(x_ 1)+L(x_ 2)=r_{A}L(1)\]

complete list of the form\[ \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}\] only a+b = 2,1,1/2,0 allowed\[ \begin{bmatrix} a & 2-a \\ 2-a & a \end{bmatrix}\]$ \begin{bmatrix} a & 1-a \\ 1-a & a \end{bmatrix}$$ \begin{bmatrix} a & 1/2-a \\ 1/2-a & a \end{bmatrix}$$ \begin{bmatrix} a & -a \\ -a & a \end{bmatrix}$
complete list of the form\[ \begin{bmatrix} 2a & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\]
$ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$ \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$ \begin{bmatrix} \infty & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$
M(3,5)\[\left[ \begin{array}{cc} 5/2 & 2 \\ 2 & 2 \end{array} \right]\]
M(3,4)\[ \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}\]$ \begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$
M(2,5)\[ \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}\]
M(6,7)\[ \begin{bmatrix} 4/3 & 1/3 \\ 1/3 & 2/3 \end{bmatrix}\]
d=0 case (not positive definite)\[ \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{bmatrix}\]\[ \begin{bmatrix} 8/9 & 1/3 \\ 1/3 & 0 \end{bmatrix}\]