2차원 이징 모형의 크라머르스-바니어 쌍대성

개요

• 원환면에 놓인 $M\times N$ 크기 2차원 사각격자 $L$
• 2차원 이징 모형 (사각 격자)의 해밀토니안을 다음과 같이 정의

$$ -\beta H(\{s\})=-\sum_{n=1}^N\sum_{m=1}^M (K s_{m,n}s_{m+1,n}+K s_{m,n}s_{m,n+1}) $$

• 분배함수

$$ Z =\sum_{\{s\}} e^{-\beta H(\{s\})} \label{Zustandssumme} $$

• 함수 $W:\mathbb{Z}/(2)\to \mathbb{R}$를 $W(0)=e^K$, $W(1)=e^K$로 정의하면 다음을 얻는다

$$e^{-\beta H(\{s\})}=\prod_{\langle i,j \rangle}W(s_i-s_j \mod 2)$$

• 푸리에 변환 $\widehat{W}$은 $W(0)=\widehat{W}(0)+\widehat{W}(1)$, $W(1)=\widehat{W}(0)-\widehat{W}(1)$을 만족
• 사각격자의 각 면마다 스핀을 배열하고 다음과 같은 볼츠만 가중치를 갖는 쌍대 모형을 정의할 수 있다

$$ e^{-\beta \widehat{H}(\{\sigma\})}=\prod_{\langle \mu,\nu \rangle}\widehat{W}(\sigma_{\mu}-\sigma_{\nu} \mod 2) $$

• 분배함수 \ref{Zustandssumme}는 다음을 만족한다

$$ Z=2^{MN}\sum_{\{\sigma\}}\prod_{\langle \mu,\nu \rangle}\widehat{W}(\sigma_{\mu}-\sigma_{\nu} \mod 2) $$

임계온도

• $\widehat{W}(0)=e^{\tilde{K}}$, $\widehat{W}(1)=e^{-\tilde{K}}$로 두면 두 결합상수 $K, \tilde{K}$ 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다

$$ \sinh(2K)\sinh(2\tilde K)=1 $$

• 이징 모형이 $K=K_c$에서 임계점을 가지면, 쌍대 모형도 같은 곳에서 임계점을 가져야 한다
• 따라서 이징 모형의 임계온도 $K_c$가 유일하다고 가정하면 이는 다음을 만족한다

$$\sinh(2K_c)^2=1$$

• \(K_c=\frac{1}{2}\ln(1+\sqrt2)=0.440687\cdots\)

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Kramers-Wannier_duality

에세이, 리뷰, 강의노트

• The Phase Transition of the 2D-Ising Model

관련논문

• Kramers, H. A., and G. H. Wannier. “Statistics of the Two-Dimensional Ferromagnet. Part I.” Physical Review 60, no. 3 (August 1, 1941): 252–62. doi:10.1103/PhysRev.60.252.