"5차방정식과 근의 공식"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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==개요==
  
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* 표준적인 증명은 [[거듭제곱근 체확장(radical extension)]] 과 [[가해군(solvable group)]] 항목을 참조
  
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<h5>개요</h5>
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==방정식의 근의 공식==
  
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">증명의 개요</h5>
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*  방정식의 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현
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* [[2차 방정식의 근의 공식]] :<math>ax^2+bx+c=0</math> :<math>x_1=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \quad x_2=\frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>
  
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* We start from the field of symmetric functions.<br>
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* [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]]:<math>x^3 + px + q = 0</math>:<math>x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>:<math>x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>:<math>x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} </math>
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*  Essentially, we are studying the radical extension of that base field.<br>
 
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*  The proof is consisted of two steps.<br>
 
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*  radicals to express the quintic formula can be expressed in terms of roots<br>
 
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*  the behavior of radicals under permutations<br>
 
  
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==거듭제곱근 체확장==
  
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">radical 체확장</h5>
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*  체(field)의 기본적인 내용에 대해서는 [[체론(field theory)]] 항목을 참조
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* [[거듭제곱근 체확장(radical extension)]] 항목에서 자세히 다룸
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*  방정식의 계수로부터 만들어지는 기본체 <math>F=R_0</math>
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*  적당한 원소 <math>a_0 \in R_0</math>와 소수 <math>n_0</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>\sqrt[n_0]a</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)</math>
 +
*  적당한 원소 <math>a_1\in R_1</math>와 소수 <math>n_1</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>\sqrt[n_1]a_1</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)</math>
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*  이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 <math>F=R_0</math>의 체확장 <math>R</math> 을 거듭제곱근 체확장이라 하며, 이 반복의 회수를 체확장의 높이라 하자.
  
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* 기본체 <math>F=R_0</math><br>
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*  적당한 원소 <math>a_0 \in F</math>와 소수 <math>n_0</math>에 대하여, n-제곱근 <math>\sqrt[n_0]a</math> 를 넣어 얻어지는 체확장 <math>R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)</math><br>
 
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*  적당한 원소 <math>a_1\in R_1</math>와 소수 <math>n_1</math>에 대하여, n-제곱근 <math>\sqrt[n_1]a_1</math> 를 넣어 얻어지는 체확장 <math>R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)</math><br>
 
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*  이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 <math>F=R_0</math>의 체확장 <math>R</math> 을 radical 체확장이라 하며, 이 반복의 회수를 체확장의 높이라 하자.<br>
 
  
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==5차방정식의 근의 공식에 대한 아벨의 증명==
  
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정리 0.
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* [[5차방정식의 근의 공식과 아벨의 증명|5차방정식의 근의 공식에 대한 아벨의 증명]]
  
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소수 p 에 대하여 <math>F</math>의 radical 체확장 <math>R=F(\sqrt[p]a)</math> 이 있다고 하자. 
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원소 <math>v\in R-F</math> 에 대하여, 다음이 성립한다.
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==5차방정식의 근의 공식과 갈루아 이론==
  
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(1) <math>\rho \in R</math> 과  <math>v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F</math>이 존재하여, 
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* [[5차방정식의 근의 공식과 갈루아 이론]]
  
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(2) <math>v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}</math> 형태로 표현가능하다.
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==대수학의 표준적인 증명==
  
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* 갈루아 이론을 사용하는 증명
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* <math>f(x)=2x^5-5x^4+5</math>는 유리수체 위에 정의된 기약다항식
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* 두개의 복소수해와 3개의 실수해를 가짐
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* 갈루아군은 <math>S_5</math>은 가해군이 아니므로, splitting field는 거듭제곱근 체확장이 아니다
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* 따라서 이 방정식의 해는 유리수로부터 시작하여 사칙연산과 거듭제곱근을 사용하여 표현가능하지 않다
  
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">오차방정식</h5>
 
  
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* 방정식 <math>x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0</math>이 주어졌다고 가정하자.
+
==일반적인 n차 방정식==
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* 그 해를 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math> 라 하자.
+
* <math>K=\mathbb{C}(x_1,\cdots,x_n)</math>
 +
* <math>F=\mathbb{C}(s_1,\cdots,s_n)</math>
 +
* 방정식
 +
:<math>x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0</math>
  
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* <math>K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)</math><br>
 
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* <math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)</math><br>
 
  
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==메모==
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* http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2008/10/abels-impossibility-proof.html
  
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정리 1. 
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==역사==
 +
*  1820년대 아벨에 의해 증명
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=quintic+equation
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* [[수학사 연표]]
  
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이 방정식의 한 해 v를 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 있다고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다. 
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(1) <math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)</math>의 적당한 radical 체확장 <math>R</math>과  원소 <math>v_0,v_2,v_3,v_4,\rho \in R</math>이 존재하여
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==관련된 항목들==
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(2) <math>v=v_0+{\sqrt[5]\rho}+v_2{\sqrt[5]\rho^2}+v_3{\sqrt[5]\rho^3}+v_4{\sqrt[5]\rho^4}</math> 형태로 표현가능하다.
 
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예)
 
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* [[2차 방정식의 근의 공식]]<br>[[2차 방정식의 근의 공식|]]<br><math>ax^2+bx+c=0</math><br><math>x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math><br>  <br>
 
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* [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]]<br>
 
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(증명)
 
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정리 0을 반복해서 사용. ■
 
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정리 2. (theorem of natural irrationalities)
 
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 <math>v_0,v_2,v_3,v_4,\rho</math> 는 방정식의 해 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math> 의 유리함수로 표현할 수 있다.
 
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예)
 
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* [[2차 방정식의 근의 공식]]<br>[[2차 방정식의 근의 공식|]]<br><math>ax^2+bx+c=0</math> 의 해를 <math>x_1,x_2</math>라 하면, <math>\sqrt{b^2-4ac}=x_1-x_2</math> 이다. <br>  <br>
 
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* [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]]<br>
 
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정리 3.
 
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<math>n\geq 5</math> 라 하자. <math>K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_n)</math>의 원소 <math>u,a</math>가 <math>u^p= a</math> 를 만족시킨다고 하자. a가 <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변이면. u도 역시  <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변이다.
 
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(증명)
 
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<math>\chi</math> 를 u에 의해 정의되는 character 라 하자.
 
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<math>\sigma(u)=\chi(\sigma)u</math>
 
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<math>\tau(u)=\chi(\tau)u</math> 
 
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<math>\tau\sigma=(12453)</math>
 
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<math>\tau\sigma^2=(14532)</math>
 
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이므로 <math>\chi(\sigma)=1</math>, <math>\chi(\tau)=1</math>이다.  ■
 
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노트. 여기가 <math>n\geq 5</math> 조건이 필요한 부분이다.
 
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정리 4.
 
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<math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5) \subset R \subset K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)</math> 인  F의 radical 체확장 <math>R</math>은 <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변이다. 
 
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(증명)
 
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체확장의 높이에 따른 귀납법을 사용하자. 
 
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높이가 1이면, 정리0에 의하여,  <math>R=F(\sqrt[p]a)</math>의 형태로 쓸 수 있다. 여기에 정리 3을 적용하면, 체확장 <math>R</math>은 <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변임을 알 수 있다.
 
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이제 체확장의 높이가 2이상이면 , <math>F</math>의 radical 체확장 <math>R_1</math> 이 존재하여, 적당한 소수 p 에 대하여  <math>R=R_1(\sqrt[p]u)</math> 의 형태로 쓸 수 있다. 귀납법의 가정에 의하여, 체확장 <math>R_1</math>은 <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변이다.  <math>R=R_1(\sqrt[p]u)</math>에 정리 3을 적용하면, 체확장 <math>R</math>은 <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변이다. ■
 
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정리 5. (5차방정식의 근의 공식의 불가능성)
 
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(증명)
 
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방정식 <math>x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0</math>이 주어졌다고 가정하고, 그 해를 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math> 라 하자.
 
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정리 1에 의하여, <math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)</math>의 적당한 radical 체확장 <math>R</math>과  원소 <math>v_0,v_2,v_3,v_4,\rho \in R</math>이 존재하여, <math>x_1=v_0+{\sqrt[5]\rho}+v_2{\sqrt[5]\rho^2}+v_3{\sqrt[5]\rho^3}+v_4{\sqrt[5]\rho^4}</math> 의 꼴로 쓸 수 있다.
 
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한편 정리 4에 의하여,  radical 체확장 <math>R</math>과  원소 <math>v_0,v_2,v_3,v_4,\rho \in R</math> 는 모두 <math>\sigma,\tau</math>에 의해 불변이다. 정리 4를 한번 더 적용하면, <math>\sqrt[5]\rho</math> 도 역시  <math>\sigma,\tau</math>에 의하여 불변이다.
 
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따라서 
 
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* [[갈루아 이론]]<br>
 
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">Monodromy proof</h5>
 
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Consider <math>3w^5-25w^3+60w-z=0</math>.
 
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For <math>z=\pm 38</math> and <math>z=\pm 16</math>, the above equation has four distinct roots.
 
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These are the branch points and determines the Riemann surfaces.
 
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Then the monodromy group is acting as a permutation of sheets and not solvable.
 
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We can apply this monodromy idea to the computation of Galois groups of number fields.
 
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">regular proof</h5>
 
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<math>f(x)=2x^5-5x^4+5</math> is the irreducible polynomial of degree 5 over the rationals.
 
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It has two complex and 3 real roots.
 
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This implies the Galois group is <math>S_5</math>.
 
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">일반적인 n차 방정식</h5>
 
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일반적인 방정식
 
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<math>x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0</math>
 
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<math>K=\mathbb{C}(x_1,\cdots,x_n)</math>
 
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<math>F=\mathbb{C}(s_1,\cdots,s_n)</math>
 
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<h5>관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들</h5>
 
  
 
* [[추상대수학]]
 
* [[추상대수학]]
 +
* [[고교생도 이해할 수 있는 군론 입문]]
 +
* [[군론(group theory)|군론]]
 +
* [[갈루아 이론]]
 +
* [[체론(field theory)]]
 
* [[5차방정식과 정이십면체|오차방정식과 정이십면체]]
 
* [[5차방정식과 정이십면체|오차방정식과 정이십면체]]
  
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<h5>관련된 대학원 과목</h5>
 
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<h5>관련된 다른 주제들</h5>
 
  
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* [[추상대수학의 토픽들]]
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==수학용어번역==
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* {{수학용어집|url=radical}}
  
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5>
+
  
−
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
+
==사전 형태의 자료==
−
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Abel%E2%80%93Ruffini_theorem http://en.wikipedia.org/wiki/Abel–Ruffini_theorem]
+
* http://en.wikipedia.org/wiki/Abel–Ruffini_theorem
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/radical_extension
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/radical_extension
  
−
 
+
  
−
 
+
==관련논문==
  
−
<h5>링크</h5>
+
* [http://www.springerlink.com/content/0620513v46601g12/ Variations on the theme of solvability by radicals]
 +
** A. G. Khovanskii, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics,    Volume 259, Number 2 / 2007년 12월
 +
* [http://www.turpion.org/php/paper.phtml?journal_id=rm&paper_id=759 On solvability and unsolvability of equations in explicit form]
 +
** A G Khovanskii, Russian Math. Surveys 2004, 59 (4), 661-736
 +
* [http://www.jstor.org/stable/2974763 Niels Hendrik Abel and Equations of the Fifth Degree]
 +
** Michael I. Rosen, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 495-505
  
−
* <br>
+
−
* http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2008/10/abels-impossibility-proof.html<br>
 
  
−
 
+
  
−
 
+
==관련도서==
  
−
<h5>관련논문</h5>
+
*  Abel's Proof
 +
** Peter Pesic, Chapter 6. 'Abel's proof' 85-94p
 +
* [http://www.amazon.com/Galois-Theory-Algebraic-Equations-Jean-Pierre/dp/9810245416/ref=sr_1_1/192-3053250-5244809?ie=UTF8&s=books&qid=1228931227&sr=1-1 Galois' Theory of Algebraic Equations]
 +
** Jean-Pierre Tignol, Chapter 13.  Ruffini and Abel on general equations
 +
* [http://www.amazon.com/Functions-Integrals-Translations-Mathematical-Monographs/dp/0821805878 Elliptic functions and elliptic integrals]
 +
** Viktor Prasolov, Yuri Solovyev, 6.5 The Abel theorem on the solvability in radicals of the general quinti equation
 +
[[분류:방정식과 근의 공식]]
 +
[[분류:추상대수학]]
  
−
*  Abel's Proof<br>
+
==메타데이터==
−
** Peter Pesic, Chapter 6. 'Abel's proof' 85-94p ([[2284146/attachments/1125756|pdf]])
+
===위키데이터===
−
* [http://www.amazon.com/Galois-Theory-Algebraic-Equations-Jean-Pierre/dp/9810245416/ref=sr_1_1/192-3053250-5244809?ie=UTF8&s=books&qid=1228931227&sr=1-1 Galois' Theory of Algebraic Equations]<br>
+
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q313421 Q313421]
−
** Jean-Pierre Tignol, Chapter 13.  Ruffini and Abel on general equations ([[2284146/attachments/1015504|pdf]])
+
===Spacy 패턴 목록===
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* [http://www.amazon.com/Functions-Integrals-Translations-Mathematical-Monographs/dp/0821805878 Elliptic functions and elliptic integrals][http://www.amazon.com/exec/obidos/search-handle-url/ref=ntt_athr_dp_sr_1?%5Fencoding=UTF8&search-type=ss&index=books&field-author=Viktor%20Prasolov ]<br>
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* [{'LEMMA': 'Abel'}]
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** Viktor Prasolov, Yuri Solovyev, 6.5 The Abel theorem on the solvability in radicals of the general quinti equation ([[2284146/attachments/1099008|pdf]])
 
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* [http://www.springerlink.com/content/0620513v46601g12/ Variations on the theme of solvability by radicals]<br>
 
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** A. G. Khovanskii, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics,     Volume 259, Number 2 / 2007년 12월
 
−
* [http://www.turpion.org/php/paper.phtml?journal_id=rm&paper_id=759 On solvability and unsolvability of equations in explicit form]<br>
 
−
** A G Khovanskii, Russian Math. Surveys 2004, 59 (4), 661-736
 
−
* [http://www.jstor.org/stable/2974763 Niels Hendrik Abel and Equations of the Fifth Degree]<br>
 
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** Michael I. Rosen, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 495-505
 
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2021년 2월 17일 (수) 04:46 기준 최신판

개요




방정식의 근의 공식

  • 방정식의 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현
  • 2차 방정식의 근의 공식 \[ax^2+bx+c=0\] \[x_1=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \quad x_2=\frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
  • 3차, 4차 방정식의 근의 공식\[x^3 + px + q = 0\]\[x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\]\[x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\]\[x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \]




거듭제곱근 체확장

  • 체(field)의 기본적인 내용에 대해서는 체론(field theory) 항목을 참조
  • 거듭제곱근 체확장(radical extension) 항목에서 자세히 다룸
  • 방정식의 계수로부터 만들어지는 기본체 \(F=R_0\)
  • 적당한 원소 \(a_0 \in R_0\)와 소수 \(n_0\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_0]a\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)\)
  • 적당한 원소 \(a_1\in R_1\)와 소수 \(n_1\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_1]a_1\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)\)
  • 이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 \(F=R_0\)의 체확장 \(R\) 을 거듭제곱근 체확장이라 하며, 이 반복의 회수를 체확장의 높이라 하자.




5차방정식의 근의 공식에 대한 아벨의 증명



5차방정식의 근의 공식과 갈루아 이론



대수학의 표준적인 증명

  • 갈루아 이론을 사용하는 증명
  • \(f(x)=2x^5-5x^4+5\)는 유리수체 위에 정의된 기약다항식
  • 두개의 복소수해와 3개의 실수해를 가짐
  • 갈루아군은 \(S_5\)은 가해군이 아니므로, splitting field는 거듭제곱근 체확장이 아니다
  • 따라서 이 방정식의 해는 유리수로부터 시작하여 사칙연산과 거듭제곱근을 사용하여 표현가능하지 않다


일반적인 n차 방정식

  • \(K=\mathbb{C}(x_1,\cdots,x_n)\)
  • \(F=\mathbb{C}(s_1,\cdots,s_n)\)
  • 방정식

\[x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0\]


메모


역사


관련된 항목들



수학용어번역

  • radical - 대한수학회 수학용어집


사전 형태의 자료


관련논문



관련도서

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LEMMA': 'Abel'}]
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