"5차방정식과 근의 공식"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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==개요==
  
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* [[5차방정식과 근의 공식]]
 
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<h5>개요</h5>
 
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* 5차방정식의 근의 방정식이 존재하지 않음에 대한 [[닐스 헨릭 아벨(1802 – 1829)|아벨(1802 – 1829)]]의 증명(에 가까운 증명)
 
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* 이 증명은 학부에서 배우는 표준적인 증명과는 성격이 약간 다르다
 
 
* 표준적인 증명은 [[거듭제곱근 체확장(radical extension)]] 과 [[가해군(solvable group)]] 항목을 참조
 
* 표준적인 증명은 [[거듭제곱근 체확장(radical extension)]] 과 [[가해군(solvable group)]] 항목을 참조
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">증명의 개요</h5>
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*  증명은 크게 두 부분으로 구성<br>
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==방정식의 근의 공식==
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**  5차 방정식의 해를 거듭제곱근기호를 써서 표현할 수 있을때 갖게 되는 성질<br>
 
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**  거듭제곱근의 기호를 써서 표현할 때 등장하는 수를 방정식의 해의 유리함수로 표현할 수 있다는 사실의 증명<br>
 
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*  위의 두 사실 사이의 긴장을 이용하여 모순을 이끌어냄<br>
 
  
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*  방정식의 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현
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* [[2차 방정식의 근의 공식]] :<math>ax^2+bx+c=0</math> :<math>x_1=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \quad x_2=\frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>
  
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* [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]]:<math>x^3 + px + q = 0</math>:<math>x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>:<math>x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>:<math>x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} </math>
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">방정식의 근의 공식</h5>
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* 방정식의 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현<br>
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* [[2차 방정식의 근의 공식]]<br><math>ax^2+bx+c=0</math><br>
 
  
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<math>x_1=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>,  <math>x_2=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>
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* [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]]<br><math>x^3 + px + q = 0</math><br><math>x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math><br><math>x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math><br><math>x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} </math><br>
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==거듭제곱근 체확장==
  
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*  체(field)의 기본적인 내용에 대해서는 [[체론(field theory)]] 항목을 참조
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* [[거듭제곱근 체확장(radical extension)]] 항목에서 자세히 다룸
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*  방정식의 계수로부터 만들어지는 기본체 <math>F=R_0</math>
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*  적당한 원소 <math>a_0 \in R_0</math>와 소수 <math>n_0</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>\sqrt[n_0]a</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)</math>
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*  적당한 원소 <math>a_1\in R_1</math>와 소수 <math>n_1</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>\sqrt[n_1]a_1</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)</math>
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*  이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 <math>F=R_0</math>의 체확장 <math>R</math> 을 거듭제곱근 체확장이라 하며, 이 반복의 회수를 체확장의 높이라 하자.
  
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* <math>A=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}</math>, <math>B=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math><br>
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* 거듭제곱근 체확장의 개념을 도입하는 것이 유용하다<br>
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*   <br>
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==5차방정식의 근의 공식에 대한 아벨의 증명==
  
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* [[5차방정식의 근의 공식과 아벨의 증명|5차방정식의 근의 공식에 대한 아벨의 증명]]
  
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==5차방정식의 근의 공식과 갈루아 이론==
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">거듭제곱근 체확장</h5>
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* [[5차방정식의 근의 공식과 갈루아 이론]]
  
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* 체(field)의 기본적인 사항에 대해서는 [[체론(field theory)]] 항목을 참조<br>
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*  방정식의 계수로부터 만들어지는 기본체 <math>F=R_0</math><br>
 
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*  적당한 원소 <math>a_0 \in R_0</math>와 소수 <math>n_0</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>\sqrt[n_0]a</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)</math><br>
 
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*  적당한 원소 <math>a_1\in R_1</math>와 소수 <math>n_1</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>\sqrt[n_1]a_1</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)</math><br>
 
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*  이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 <math>F=R_0</math>의 체확장 <math>R</math> 을 거듭제곱근 체확장이라 하며, 이 반복의 회수를 체확장의 높이라 하자.<br>
 
  
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==대수학의 표준적인 증명==
  
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* 갈루아 이론을 사용하는 증명
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* <math>f(x)=2x^5-5x^4+5</math>는 유리수체 위에 정의된 기약다항식
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* 두개의 복소수해와 3개의 실수해를 가짐
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* 갈루아군은 <math>S_5</math>은 가해군이 아니므로, splitting field는 거듭제곱근 체확장이 아니다
 +
* 따라서 이 방정식의 해는 유리수로부터 시작하여 사칙연산과 거듭제곱근을 사용하여 표현가능하지 않다
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">5차방정식 근의 공식의 불가능성 증명</h5>
 
  
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'''정리 0.'''
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==일반적인 n차 방정식==
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* <math>K=\mathbb{C}(x_1,\cdots,x_n)</math>
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* <math>F=\mathbb{C}(s_1,\cdots,s_n)</math>
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* 방정식
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:<math>x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0</math>
  
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소수 p 에 대하여 <math>F</math>의 거듭제곱근 체확장 <math>R=F(\sqrt[p]a)</math> 이 있다고 하자. 
 
  
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원소 <math>v\in R-F</math> 에 대하여, 다음이 성립한다.
 
  
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(1) <math>\rho, v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F</math>이 존재하여, 
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==메모==
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* http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2008/10/abels-impossibility-proof.html
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(2) <math>v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}</math> 형태로 표현가능하다.
 
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(증명)
 
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<math>u_0,u_1, u_2,u_3, \cdots, u_{p-1} \in F</math>가 존재하여 <math>v=u_0+u_1{\sqrt[p]a}+u_2{\sqrt[p]a^2}+u_3{\sqrt[p]a^3}++\cdots+u_{p-1}{\sqrt[p]a^{p-1}}</math>로 쓸 수 있다. 
 
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<math>u_i\sqrt[p]a^i\neq 0 </math> 인 i가 적어도 하나 존재한다. <math>\sqrt[p]\rho=u_i\sqrt[p]a^i</math>, 즉 <math>\rho=u_i^p a^i</math> 로 두면 된다.  ■
 
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'''정리 1.'''
 
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소수 p 에 대하여 <math>F</math>의 거듭제곱근 체확장 <math>R=F(\sqrt[p]a)</math> 이 있다고 하자. 
 
  
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원소 <math>v\in R-F</math> 가 F의 계수를 가지는 방정식의 해라고 하고, '''정리 0'''에 따라 <math>v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}</math>로 꼴로 쓸 수 있다. 
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그러면, 이 방정식의 p개의 해 <math>v=\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3, \cdots, \alpha_{p} </math>는 모두 R의 원소이며, <math>\rho, v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F</math> 는 모두 <math>\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3, \cdots, \alpha_{p} </math>의 유리함수 표현으로 쓸 수 있다. 
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==역사==
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*  1820년대 아벨에 의해 증명
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(증명)
 
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생략. ■
 
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예)
 
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 <math>\alpha_1=v_0+u+v_2u^2</math>
 
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 <math>\alpha_2=v_0+\zeta u+v_2\zeta^2u^2</math>
 
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 <math>\alpha_3=v_0+\zeta^2 u+v_2\zeta u^2</math>
 
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<math>v_0=\frac{1}{3}(\alpha_1+\zeta^2\alpha_2+\zeta \alpha_3)</math>
 
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<math>u=\frac{1}{3}(\alpha_1+\zeta^2\alpha_2+\zeta \alpha_3)</math>
 
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이제 5차방정식 <math>x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0</math>의 해를 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math> 라 하자.  복소수체에 방정식의 계수들을 넣어 만들어진 체 <math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)</math>를 정의하자. 
 
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'''정리 2. '''
 
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이 5차방정식의 한 해 v를 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 있다고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다. 
 
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(1) <math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)</math>의 적당한 거듭제곱근 체확장 <math>R</math>과 적당한 소수 p, 원소 <math>\rho, v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F</math>이 존재하여,
 
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(2)  <math>v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}</math> 형태로 표현가능하다.
 
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(증명)
 
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'''정리 0'''을 반복해서 사용. ■
 
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<br> 예)
 
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* [[2차 방정식의 근의 공식]]<br>[[2차 방정식의 근의 공식|]]<br><math>ax^2+bx+c=0</math><br><math>x_1=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>,  <math>x_2=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math><br>  <br>
 
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* [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]]<br><math>x^3 + px + q = 0</math><br><math>x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math><br><math>x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math><br><math>x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} </math><br>
 
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'''정리 3.''' (theorem of natural irrationalities)
 
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<math>v_0,v_2,v_3,\cdots, v_{p-1},\rho</math> 는 방정식의 해 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math> 의 유리함수로 표현할 수 있다.
 
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예)
 
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* [[2차 방정식의 근의 공식]]<br>[[2차 방정식의 근의 공식|]]<br><math>ax^2+bx+c=0</math> 의 해를 <math>x_1,x_2</math>라 하면, <math>\sqrt{b^2-4ac}=x_1-x_2</math> 이다. <br>
 
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* [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]]<br>
 
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(증명)
 
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체확장의 높이에 따른 귀납법을 사용하자. 
 
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높이가 1이면, '''정리0'''에 의하여, 적당한 소수 l에 대하여 <math>R=F(\sqrt[l]a)</math>의 형태로 쓸 수 있다. 정리 1을 적용하면, a는 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math>의 유리함수로 표현가능하며, 따라서 모든  <math>R=F(\sqrt[l]a)</math>의 원소를 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math>의 유리함수로 표현할 수 있다. <math>v_0,v_2,v_3,\cdots, v_{p-1},\rho</math>는 모두 R의 원소이므로, 마찬가지로  <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math>의 유리함수로 쓸 수 있다. 
 
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이제 체확장의 높이가 2이상이면 , <math>F</math>의 거듭제곱근 체확장 <math>R_1</math> 이 존재하여, 적당한 소수 l에 대하여 <math>R=R_1(\sqrt[l]u)</math> 의 형태로 쓸 수 있다. 
 
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귀납법의 가정에 의하여, 체확장 <math>R_1</math>의 모든 원소들은 방정식의 해 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math> 의 유리함수로 표현가능하다. 
 
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이제  <math>R=R_1(\sqrt[l]u)</math>에 '''정리 1'''을 적용하면,  u는 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math>의 유리함수로 표현가능하며 따라서 R의 모든 원소는  <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math> 의 유리함수로 쓸 수 있다. ■
 
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'''정리 4.'''
 
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<math>n\geq 5</math> 라 하자. 체 <math>\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_n)</math>의 원소 <math>u,a</math>가 <math>u^p= a</math> 를 만족시킨다고 하자. a가 <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변이면. u도 역시  <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변이다.
 
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(증명)
 
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<math>\chi</math> 를 u에 의해 정의되는 character 라 하자.
 
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<math>\sigma(u)=\chi(\sigma)u</math>
 
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<math>\tau(u)=\chi(\tau)u</math>
 
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<math>\tau\sigma=(12453)</math>
 
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<math>\tau\sigma^2=(14532)</math>
 
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이므로 <math>\chi(\sigma)=1</math>, <math>\chi(\tau)=1</math>이다.  ■
 
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노트. 여기가 <math>n\geq 5</math> 조건이 필요한 부분이다.
 
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'''정리 5.'''
 
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<math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5) \subset R \subset K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)</math> 인  F의 거듭제곱근 체확장 <math>R</math>은 <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변이다. 
 
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(증명)
 
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체확장의 높이에 따른 귀납법을 사용하자. 
 
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높이가 1이면, 정리0에 의하여,  <math>R=F(\sqrt[p]a)</math>의 형태로 쓸 수 있다. 여기에 정리 3을 적용하면, 체확장 <math>R</math>은 <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변임을 알 수 있다.
 
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이제 체확장의 높이가 2이상이면 , <math>F</math>의 거듭제곱근 체확장 <math>R_1</math> 이 존재하여, 적당한 소수 p 에 대하여  <math>R=R_1(\sqrt[p]u)</math> 의 형태로 쓸 수 있다. 귀납법의 가정에 의하여, 체확장 <math>R_1</math>은 <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변이다.  <math>R=R_1(\sqrt[p]u)</math>에 '''정리 4'''을 적용하면, 체확장 <math>R</math>은 <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변이다. ■
 
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'''정리 6.''' (5차방정식의 근의 공식의 불가능성)
 
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(증명)
 
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일반적인 5차방정식 <math>x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0</math>의 근의 공식이 존재한다고 하고, 다섯 해를 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math> 라 하자.
 
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'''정리 2'''에 의하여, <math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)</math>의 적당한 거듭제곱근 체확장 <math>R</math>과  원소 <math>v_0,v_2,v_3,\cdots, v_{p-1},\rho</math>이 존재하여,  <math>x_1=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}</math> 의 꼴로 쓸 수 있다.
 
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'''정리 3'''에 의하여, <math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5) \subset R \subset K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)</math> 를 가정할 수 있다. 
 
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'''정리 5'''에 의하여, 거듭제곱근 체확장 <math>R</math>과  원소 <math>v_0,v_2,v_3,v_4,\rho \in R</math> 는 모두 <math>\sigma,\tau</math>에 의해 불변이다. 정리 5를 한번 더 적용하면, <math>\sqrt[p]\rho</math> 도 역시  <math>\sigma,\tau</math>에 의하여 불변이다.
 
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따라서  <math>x_1=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}</math> 의 우변은 <math>\sigma</math>에 의하여 불변이다. 그러나 <math>x_1</math>은  <math>\sigma</math>에 의하여 불변일 수 없으므로 모순이다.  ■
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">맴돌이(monodromy)</h5>
 
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*   <math>3w^5-25w^3+60w-z=0</math>.<br>
 
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* <math>z=\pm 38</math> and <math>z=\pm 16</math> 에서 w는 중근을 가진다<br>
 
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*  리만곡면의 branch point<br>
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">학부대수학의 표준적인 증명</h5>
 
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* <math>f(x)=2x^5-5x^4+5</math>는 유리수체 위에 정의된 기약다항식<br>
 
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*  두개의 복소수해와 3세의 실수해를 가짐<br>
 
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*  갈루아군은 <math>S_5</math>은 가해군이 아니므로, splitting field는 거듭제곱근 체확장이 아니다.<br>
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">일반적인 n차 방정식</h5>
 
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일반적인 방정식
 
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<math>x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0</math>
 
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<math>K=\mathbb{C}(x_1,\cdots,x_n)</math>
 
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<math>F=\mathbb{C}(s_1,\cdots,s_n)</math>
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사</h5>
 
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*  1820년대 아벨에 의해 증명<br>
 
 
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=quintic+equation
 
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=quintic+equation
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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* [[수학사 연표]]
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<h5>관련된 항목들</h5>
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==관련된 항목들==
  
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* [[추상대수학의 토픽들]]
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* [[추상대수학]]
 
* [[고교생도 이해할 수 있는 군론 입문]]
 
* [[고교생도 이해할 수 있는 군론 입문]]
 
* [[군론(group theory)|군론]]
 
* [[군론(group theory)|군론]]
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* [[5차방정식과 정이십면체|오차방정식과 정이십면체]]
 
* [[5차방정식과 정이십면체|오차방정식과 정이십면체]]
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
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==수학용어번역==
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* {{수학용어집|url=radical}}
  
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* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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−
* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
 
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=radical
 
−
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
  
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==사전 형태의 자료==
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Abel–Ruffini_theorem
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5>
 
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
−
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Abel%E2%80%93Ruffini_theorem http://en.wikipedia.org/wiki/Abel–Ruffini_theorem]
 
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/radical_extension
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/radical_extension
  
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<h5>링크</h5>
 
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*  
 
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* http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2008/10/abels-impossibility-proof.html
 
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==관련논문==
  
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<h5>관련논문</h5>
+
* [http://www.springerlink.com/content/0620513v46601g12/ Variations on the theme of solvability by radicals]
 +
** A. G. Khovanskii, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics,    Volume 259, Number 2 / 2007년 12월
 +
* [http://www.turpion.org/php/paper.phtml?journal_id=rm&paper_id=759 On solvability and unsolvability of equations in explicit form]
 +
** A G Khovanskii, Russian Math. Surveys 2004, 59 (4), 661-736
 +
* [http://www.jstor.org/stable/2974763 Niels Hendrik Abel and Equations of the Fifth Degree]
 +
** Michael I. Rosen, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 495-505
  
−
* [http://www.springerlink.com/content/0620513v46601g12/ Variations on the theme of solvability by radicals]<br>
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** A. G. Khovanskii, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics,     Volume 259, Number 2 / 2007년 12월
 
−
* [http://www.turpion.org/php/paper.phtml?journal_id=rm&paper_id=759 On solvability and unsolvability of equations in explicit form]<br>
 
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** A G Khovanskii, Russian Math. Surveys 2004, 59 (4), 661-736
 
−
* [http://www.jstor.org/stable/2974763 Niels Hendrik Abel and Equations of the Fifth Degree]<br>
 
−
** Michael I. Rosen, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 495-505
 
  
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==관련도서==
  
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<h5>관련도서</h5>
+
*  Abel's Proof
 +
** Peter Pesic, Chapter 6. 'Abel's proof' 85-94p
 +
* [http://www.amazon.com/Galois-Theory-Algebraic-Equations-Jean-Pierre/dp/9810245416/ref=sr_1_1/192-3053250-5244809?ie=UTF8&s=books&qid=1228931227&sr=1-1 Galois' Theory of Algebraic Equations]
 +
** Jean-Pierre Tignol, Chapter 13.  Ruffini and Abel on general equations
 +
* [http://www.amazon.com/Functions-Integrals-Translations-Mathematical-Monographs/dp/0821805878 Elliptic functions and elliptic integrals]
 +
** Viktor Prasolov, Yuri Solovyev, 6.5 The Abel theorem on the solvability in radicals of the general quinti equation
 +
[[분류:방정식과 근의 공식]]
 +
[[분류:추상대수학]]
  
−
*  Abel's Proof<br>
+
==메타데이터==
−
** Peter Pesic, Chapter 6. 'Abel's proof' 85-94p ([[2284146/attachments/1125756|pdf]])
+
===위키데이터===
−
* [http://www.amazon.com/Galois-Theory-Algebraic-Equations-Jean-Pierre/dp/9810245416/ref=sr_1_1/192-3053250-5244809?ie=UTF8&s=books&qid=1228931227&sr=1-1 Galois' Theory of Algebraic Equations]<br>
+
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q313421 Q313421]
−
** Jean-Pierre Tignol, Chapter 13.  Ruffini and Abel on general equations ([[2284146/attachments/1015504|pdf]])
+
===Spacy 패턴 목록===
−
* [http://www.amazon.com/Functions-Integrals-Translations-Mathematical-Monographs/dp/0821805878 Elliptic functions and elliptic integrals]<br>
+
* [{'LEMMA': 'Abel'}]
−
** Viktor Prasolov, Yuri Solovyev, 6.5 The Abel theorem on the solvability in radicals of the general quinti equation ([[2284146/attachments/1099008|pdf]])
 

2021년 2월 17일 (수) 04:46 기준 최신판

개요




방정식의 근의 공식

  • 방정식의 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현
  • 2차 방정식의 근의 공식 \[ax^2+bx+c=0\] \[x_1=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \quad x_2=\frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
  • 3차, 4차 방정식의 근의 공식\[x^3 + px + q = 0\]\[x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\]\[x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\]\[x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \]




거듭제곱근 체확장

  • 체(field)의 기본적인 내용에 대해서는 체론(field theory) 항목을 참조
  • 거듭제곱근 체확장(radical extension) 항목에서 자세히 다룸
  • 방정식의 계수로부터 만들어지는 기본체 \(F=R_0\)
  • 적당한 원소 \(a_0 \in R_0\)와 소수 \(n_0\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_0]a\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)\)
  • 적당한 원소 \(a_1\in R_1\)와 소수 \(n_1\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_1]a_1\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)\)
  • 이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 \(F=R_0\)의 체확장 \(R\) 을 거듭제곱근 체확장이라 하며, 이 반복의 회수를 체확장의 높이라 하자.




5차방정식의 근의 공식에 대한 아벨의 증명



5차방정식의 근의 공식과 갈루아 이론



대수학의 표준적인 증명

  • 갈루아 이론을 사용하는 증명
  • \(f(x)=2x^5-5x^4+5\)는 유리수체 위에 정의된 기약다항식
  • 두개의 복소수해와 3개의 실수해를 가짐
  • 갈루아군은 \(S_5\)은 가해군이 아니므로, splitting field는 거듭제곱근 체확장이 아니다
  • 따라서 이 방정식의 해는 유리수로부터 시작하여 사칙연산과 거듭제곱근을 사용하여 표현가능하지 않다


일반적인 n차 방정식

  • \(K=\mathbb{C}(x_1,\cdots,x_n)\)
  • \(F=\mathbb{C}(s_1,\cdots,s_n)\)
  • 방정식

\[x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0\]


메모


역사


관련된 항목들



수학용어번역

  • radical - 대한수학회 수학용어집


사전 형태의 자료


관련논문



관련도서

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LEMMA': 'Abel'}]
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