5차방정식과 근의 공식

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 1월 31일 (일) 21:58 판
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개요
  • 5차방정식의 근의 방정식이 존재하지 않음에 대한 아벨의 증명
  • 이 증명은 학부에서 배우는 표준적인 증명과는 그 성격이 약간 다르다

 

 

증명의 개요
  • 증명은 크게 두 부분으로 구성
    • 5차 방정식의 해를 거듭제곱근기호를 써서 표현할 때의 갖게 되는 성질
    • 거듭제곱근의 기호를 써서 표현할 때 등장하는 수를 방정식의 해의 유리함수로 표현할 수 있다는 사실의 증명

 

 

 

방정식의 근의 공식
  • 방정식의 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현
  • 거듭제곱근 체확장의 개념을 도입하는 것이 유용하다

 

 

거듭제곱근 체확장
  • 방정식의 계수로부터 만들어지는 기본체 \(F=R_0\)
  • 적당한 원소 \(a_0 \in R_0\)와 소수 \(n_0\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_0]a\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)\)
  • 적당한 원소 \(a_1\in R_1\)와 소수 \(n_1\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_1]a_1\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)\)
  • 이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 \(F=R_0\)의 체확장 \(R\) 을 거듭제곱근 체확장이라 하며, 이 반복의 회수를 체확장의 높이라 하자.

 

 

증명

정리 0.

소수 p 에 대하여 \(F\)의 거듭제곱근 체확장 \(R=F(\sqrt[p]a)\) 이 있다고 하자. 

원소 \(v\in R-F\) 에 대하여, 다음이 성립한다.

(1) \(\rho \in R\) 과  \(v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F\)이 존재하여, 

(2) \(v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}\) 형태로 표현가능하다.

 

(증명)

생략. ■

 

이제 5차방정식 \(x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0\)이 주어지고, 그 해를 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 라 하자.  복소수체에 계수기본체 \(K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)\). 

 

 

정리 1. 

이 방정식의 한 해 v를 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 있다고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다. 

(1) \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)의 적당한 거듭제곱근 체확장 \(R\)과  원소 \(v_0,v_2,v_3,v_4,\rho \in R\)이 존재하여

(2) \(v=v_0+{\sqrt[5]\rho}+v_2{\sqrt[5]\rho^2}+v_3{\sqrt[5]\rho^3}+v_4{\sqrt[5]\rho^4}\) 형태로 표현가능하다.

 

예)

 

(증명)

정리 0을 반복해서 사용. ■

 

 

정리 2. (theorem of natural irrationalities)

 \(v_0,v_2,v_3,v_4,\rho\) 는 방정식의 해 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 의 유리함수로 표현할 수 있다.

 

 

예)

 

 

 

정리 3.

\(n\geq 5\) 라 하자. \(K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_n)\)의 원소 \(u,a\)가 \(u^p= a\) 를 만족시킨다고 하자. a가 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이면. u도 역시  \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다.

 

(증명)

\(\chi\) 를 u에 의해 정의되는 character 라 하자.

\(\sigma(u)=\chi(\sigma)u\)

\(\tau(u)=\chi(\tau)u\) 

 

\(\tau\sigma=(12453)\)

\(\tau\sigma^2=(14532)\)

이므로 \(\chi(\sigma)=1\), \(\chi(\tau)=1\)이다.  ■

 

노트. 여기가 \(n\geq 5\) 조건이 필요한 부분이다.

 

 

정리 4.

\(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5) \subset R \subset K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)\) 인  F의 거듭제곱근 체확장 \(R\)은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다. 

 

(증명)

체확장의 높이에 따른 귀납법을 사용하자. 

높이가 1이면, 정리0에 의하여,  \(R=F(\sqrt[p]a)\)의 형태로 쓸 수 있다. 여기에 정리 3을 적용하면, 체확장 \(R\)은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변임을 알 수 있다.

이제 체확장의 높이가 2이상이면 , \(F\)의 거듭제곱근 체확장 \(R_1\) 이 존재하여, 적당한 소수 p 에 대하여  \(R=R_1(\sqrt[p]u)\) 의 형태로 쓸 수 있다. 귀납법의 가정에 의하여, 체확장 \(R_1\)은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다.  \(R=R_1(\sqrt[p]u)\)에 정리 3을 적용하면, 체확장 \(R\)은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다. ■

 

정리 5. (5차방정식의 근의 공식의 불가능성)

 

(증명)

일반적인 5차방정식 \(x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0\)의 근의 공식이 존재한다고 하고, 다섯 해를 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 라 하자.

정리 1에 의하여, \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)의 적당한 거듭제곱근 체확장 \(R\)과  원소 \(v_0,v_2,v_3,v_4,\rho \in R\)이 존재하여, \(x_1=v_0+{\sqrt[5]\rho}+v_2{\sqrt[5]\rho^2}+v_3{\sqrt[5]\rho^3}+v_4{\sqrt[5]\rho^4}\) 의 꼴로 쓸 수 있다.

한편 정리 4에 의하여, 거듭제곱근 체확장 \(R\)과  원소 \(v_0,v_2,v_3,v_4,\rho \in R\) 는 모두 \(\sigma,\tau\)에 의해 불변이다. 정리 4를 한번 더 적용하면, \(\sqrt[5]\rho\) 도 역시  \(\sigma,\tau\)에 의하여 불변이다.

따라서 \(x_1=v_0+{\sqrt[5]\rho}+v_2{\sqrt[5]\rho^2}+v_3{\sqrt[5]\rho^3}+v_4{\sqrt[5]\rho^4}\) 의 우변은 \(\sigma\)에 의하여 불변이다. 그러나 \(x_1\)은  \(\sigma\)에 의하여 불변일 수 없으므로 모순이다.  ■

 

 

 

 

Monodromy proof

Consider \(3w^5-25w^3+60w-z=0\).

For \(z=\pm 38\) and \(z=\pm 16\), the above equation has four distinct roots.

These are the branch points and determines the Riemann surfaces.

Then the monodromy group is acting as a permutation of sheets and not solvable.

We can apply this monodromy idea to the computation of Galois groups of number fields.

 

 

regular proof

\(f(x)=2x^5-5x^4+5\) is the irreducible polynomial of degree 5 over the rationals.

It has two complex and 3 real roots.

This implies the Galois group is \(S_5\).

 

 

일반적인 n차 방정식

 

일반적인 방정식

\(x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0\)

 

\(K=\mathbb{C}(x_1,\cdots,x_n)\)

\(F=\mathbb{C}(s_1,\cdots,s_n)\)

 

 

 

역사

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

링크

 

 

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