5차방정식과 근의 공식

수학노트
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개요
  • 5차방정식의 근의 방정식이 존재하지 않음에 대한 아벨의 증명
  • 이 증명은 학부에서 배우는 표준적인 증명과는 그 성격이 약간 다르다

 

 

증명의 개요
  • 증명은 크게 두 부분으로 구성
    • 5차 방정식의 해를 거듭제곱근기호를 써서 표현할 때의 갖게 되는 성질
    • 거듭제곱근의 기호를 써서 표현할 때 등장하는 수를 방정식의 해의 유리함수로 표현할 수 있다는 사실의 증명

 

 

방정식의 근의 공식
  • 방정식의 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현
  • 거듭제곱근 체확장의 개념을 도입하는 것이 유용하다

 

 

거듭제곱근 체확장
  • 방정식의 계수로부터 만들어지는 기본체 \(F=R_0\)
  • 적당한 원소 \(a_0 \in R_0\)와 소수 \(n_0\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_0]a\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)\)
  • 적당한 원소 \(a_1\in R_1\)와 소수 \(n_1\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_1]a_1\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)\)
  • 이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 \(F=R_0\)의 체확장 \(R\) 을 거듭제곱근 체확장이라 하며, 이 반복의 회수를 체확장의 높이라 하자.

 

 

5차방정식 근의 공식의 불가능성 증명

정리 0.

소수 p 에 대하여 \(F\)의 거듭제곱근 체확장 \(R=F(\sqrt[p]a)\) 이 있다고 하자. 

원소 \(v\in R-F\) 에 대하여, 다음이 성립한다.

(1) \(\rho, v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F\)이 존재하여, 

(2) \(v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}\) 형태로 표현가능하다.

 

(증명)

\(u_0,u_1, u_2,u_3, \cdots, u_{p-1} \in F\)가 존재하여 \(v=u_0+u_1{\sqrt[p]a}+u_2{\sqrt[p]a^2}+u_3{\sqrt[p]a^3}++\cdots+u_{p-1}{\sqrt[p]a^{p-1}}\)로 쓸 수 있다. 

\(u_i\sqrt[p]a^i\neq 0 \) 인 i가 적어도 하나 존재한다. \(\sqrt[p]\rho=u_i\sqrt[p]a^i\)  즉 \(\rho=u_i^p a^i\) 로 두면 된다. 

■

 

 

 

 

정리 1.

소수 p 에 대하여 \(F\)의 거듭제곱근 체확장 \(R=F(\sqrt[p]a)\) 이 있다고 하자. 

원소 \(v\in R-F\) 가 F의 계수를 가지는 방정식의 해라고 하고, 정리 0에 따라 \(v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}\)로 꼴로 쓸 수 있다. 

그러면, 이 방정식의 p개의 해 \(v=\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3, \cdots, \alpha_{p} \)는 모두 R의 원소이며, \(\rho, v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F\) 는 모두 \(\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3, \cdots, \alpha_{p} \)의 유리함수 표현으로 쓸 수 있다. 

 

 

(증명)

생략. ■

 

예)

 \(\alpha_1=v_0+u+v_2u^2\)

 \(\alpha_2=v_0+\zeta u+v_2\zeta^2u^2\)

 \(\alpha_3=v_0+\zeta^2 u+v_2\zeta u^2\)

 

\(v_0=\frac{1}{3}(\alpha_1+\zeta^2\alpha_2+\zeta \alpha_3)\)

\(u=\frac{1}{3}(\alpha_1+\zeta^2\alpha_2+\zeta \alpha_3)\)

 

이제 5차방정식 \(x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0\)의 해를 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 라 하자.  복소수체에 방정식의 계수들을 넣어 만들어진 체 \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)를 정의하자. 

 

정리 2. 

이 5차방정식의 한 해 v를 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 있다고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다. 

(1) \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)의 적당한 거듭제곱근 체확장 \(R\)과 적당한 소수 p, 원소 \(\rho, v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F\)이 존재하여,

(2)  \(v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}\) 형태로 표현가능하다.

 

 

(증명)

정리 0을 반복해서 사용. ■

 

 

 


예)

 

 

 

 

정리 3. (theorem of natural irrationalities)

\(v_0,v_2,v_3,\cdots, v_{p-1},\rho\) 는 방정식의 해 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 의 유리함수로 표현할 수 있다.

 

 

예)

 

 

(증명)

체확장의 높이에 따른 귀납법을 사용하자. 

높이가 1이면, 정리0에 의하여, 적당한 소수 l에 대하여 \(R=F(\sqrt[l]a)\)의 형태로 쓸 수 있다. 정리 1을 적용하면, a는 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\)의 유리함수로 표현가능하며, 따라서 모든  \(R=F(\sqrt[l]a)\)의 원소를 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\)의 유리함수로 표현할 수 있다. \(v_0,v_2,v_3,\cdots, v_{p-1},\rho\)는 모두 R의 원소이므로, 마찬가지로  \(x_1,x_2,\cdots,x_5\)의 유리함수로 쓸 수 있다. 

이제 체확장의 높이가 2이상이면 , \(F\)의 거듭제곱근 체확장 \(R_1\) 이 존재하여, 적당한 소수 l에 대하여 \(R=R_1(\sqrt[l]u)\) 의 형태로 쓸 수 있다. 

귀납법의 가정에 의하여, 체확장 \(R_1\)의 모든 원소들은 방정식의 해 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 의 유리함수로 표현가능하다. 

이제  \(R=R_1(\sqrt[l]u)\)에 정리 1을 적용하면,  u는 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\)의 유리함수로 표현가능하며 따라서 R의 모든 원소는  \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 의 유리함수로 쓸 수 있다. ■

 

 

정리 4.

\(n\geq 5\) 라 하자. 체 \(\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_n)\)의 원소 \(u,a\)가 \(u^p= a\) 를 만족시킨다고 하자. a가 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이면. u도 역시  \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다.

 

(증명)

\(\chi\) 를 u에 의해 정의되는 character 라 하자.

\(\sigma(u)=\chi(\sigma)u\)

\(\tau(u)=\chi(\tau)u\) 

 

\(\tau\sigma=(12453)\)

\(\tau\sigma^2=(14532)\)

이므로 \(\chi(\sigma)=1\), \(\chi(\tau)=1\)이다.  ■

 

노트. 여기가 \(n\geq 5\) 조건이 필요한 부분이다.

 

 

정리 5.

\(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5) \subset R \subset K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)\) 인  F의 거듭제곱근 체확장 \(R\)은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다. 

 

(증명)

체확장의 높이에 따른 귀납법을 사용하자. 

높이가 1이면, 정리0에 의하여,  \(R=F(\sqrt[p]a)\)의 형태로 쓸 수 있다. 여기에 정리 3을 적용하면, 체확장 \(R\)은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변임을 알 수 있다.

이제 체확장의 높이가 2이상이면 , \(F\)의 거듭제곱근 체확장 \(R_1\) 이 존재하여, 적당한 소수 p 에 대하여  \(R=R_1(\sqrt[p]u)\) 의 형태로 쓸 수 있다. 귀납법의 가정에 의하여, 체확장 \(R_1\)은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다.  \(R=R_1(\sqrt[p]u)\)에 정리 4을 적용하면, 체확장 \(R\)은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다. ■

 

정리 6. (5차방정식의 근의 공식의 불가능성)

 

(증명)

일반적인 5차방정식 \(x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0\)의 근의 공식이 존재한다고 하고, 다섯 해를 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 라 하자.

정리 2에 의하여, \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)의 적당한 거듭제곱근 체확장 \(R\)과  원소 \(v_0,v_2,v_3,\cdots, v_{p-1},\rho\)이 존재하여,  \(x_1=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}\) 의 꼴로 쓸 수 있다.

정리 3에 의하여, \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5) \subset R \subset K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)\) 를 가정할 수 있다. 

정리 5에 의하여, 거듭제곱근 체확장 \(R\)과  원소 \(v_0,v_2,v_3,v_4,\rho \in R\) 는 모두 \(\sigma,\tau\)에 의해 불변이다. 정리 5를 한번 더 적용하면, \(\sqrt[p]\rho\) 도 역시  \(\sigma,\tau\)에 의하여 불변이다.

따라서  \(x_1=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}\) 의 우변은 \(\sigma\)에 의하여 불변이다. 그러나 \(x_1\)은  \(\sigma\)에 의하여 불변일 수 없으므로 모순이다.  ■

 

 

맴돌이(monodromy)
  •  \(3w^5-25w^3+60w-z=0\).
  • \(z=\pm 38\) and \(z=\pm 16\) 에서 w는 중근을 가진다
  • 리만곡면의 branch point

 

 

regular proof
  • \(f(x)=2x^5-5x^4+5\)는 유리수체 위에 정의된 기약다항식
  • 두개의 복소수해와 3세의 실수해를 가짐
  • 갈루아군은 \(S_5\).

 

 

 

일반적인 n차 방정식

일반적인 방정식

\(x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0\)

 

\(K=\mathbb{C}(x_1,\cdots,x_n)\)

\(F=\mathbb{C}(s_1,\cdots,s_n)\)

 

 

 

역사

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

링크

 

 

관련논문
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