5차방정식의 근의 공식과 아벨의 증명

 

 

개요

• 5차방정식의 근의 방정식이 존재하지 않음에 대한 아벨(1802 – 1829)의 증명(에 가까운 증명)
• 이 증명은 학부에서 배우는 표준적인 증명과는 성격이 약간 다르다

 

 

증명의 개요

• 증명은 크게 세 부분으로 구성
  
  • 5차 방정식의 해를 거듭제곱근기호를 써서 표현하는 경우, 근의 공식이 갖는 일반적인 형태
    
  • 거듭제곱근의 기호를 써서 표현할 때 등장하는 수를 방정식의 해의 유리함수로 표현할 수 있다는 사실의 증명
    
  • 위의 두 사실 사이의 긴장을 이용하여 모순을 이끌어내는 부분
    

 

 

 

• 3차, 4차 방정식의 근의 공식
  \(x^3 + px + q = 0\)
  \(x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\)
  \(x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\)
  \(x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \)
  

 

 

 

근의 공식이 갖는 일반적인 형태의 이해

• 위 3차, 4차 방정식의 근의 공식 을 다른 형태로 표현해 보자
  \(A=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}\), \(B=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\)
  \(A^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}\), \(1/A^3=\frac{27}{p^3}\cdot (\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}})\)
  \(AB=\sqrt[3]{-\frac{p^3}{27}}=-\frac{p}{3}\)
  \(B=-\frac{p}{3A}=-\frac{pA^2}{3A^3}=-\frac{9(\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}})}{p^2}A^2\)
  따라서,
  \(x_1=A+B=A-\frac{9(\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}})}{p^2}A^2\)
  
• 거듭제곱근 체확장의 개념을 도입하는 것이 유용하다
  

 

 

 

5차방정식 근의 공식의 불가능성 증명

정리 0.

소수 p 에 대하여 \(F\)의 거듭제곱근 체확장 \(R=F(\sqrt[p]a)\) 이 있다고 하자. 

원소 \(v\in R-F\) 에 대하여, 다음이 성립한다.

(1) \(\rho, v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F\)이 존재하여, 

(2) \(v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}\) 형태로 표현가능하다.

 

(증명)

\(u_0,u_1, u_2,u_3, \cdots, u_{p-1} \in F\)가 존재하여 \(v=u_0+u_1{\sqrt[p]a}+u_2{\sqrt[p]a^2}+u_3{\sqrt[p]a^3}++\cdots+u_{p-1}{\sqrt[p]a^{p-1}}\)로 쓸 수 있다. 

\(u_i\sqrt[p]a^i\neq 0 \) 인 i가 적어도 하나 존재한다. \(\sqrt[p]\rho=u_i\sqrt[p]a^i\), 즉 \(\rho=u_i^p a^i\) 로 두면 된다.  ■

 

 

 

정리 1.

소수 p 에 대하여 \(F\)의 거듭제곱근 체확장 \(R=F(\sqrt[p]a)\) 이 있다고 하자. 

원소 \(v\in R-F\) 가 F의 계수를 가지는 방정식의 해라고 하고, 정리 0에 따라 \(v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}\)로 꼴로 쓸 수 있다. 

그러면, 이 방정식의 p개의 해 \(v=\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3, \cdots, \alpha_{p} \)는 모두 R의 원소이며, \(\rho, v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F\) 는 모두 \(\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3, \cdots, \alpha_{p} \)의 유리함수 표현으로 쓸 수 있다. 

 

 

(증명)

생략. ■

 

예)

 \(\alpha_1=v_0+u+v_2u^2\)

 \(\alpha_2=v_0+\zeta u+v_2\zeta^2u^2\)

 \(\alpha_3=v_0+\zeta^2 u+v_2\zeta u^2\)

 

\(v_0=\frac{1}{3}(\alpha_1+\zeta^2\alpha_2+\zeta \alpha_3)\)

\(u=\frac{1}{3}(\alpha_1+\zeta^2\alpha_2+\zeta \alpha_3)\)

 

이제 5차방정식 \(x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0\)의 해를 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 라 하자.  복소수체에 방정식의 계수들을 넣어 만들어진 체 \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)를 정의하자. 

 

정리 2. 

이 5차방정식의 한 해 v를 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 있다고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다. 

(1) \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)의 적당한 거듭제곱근 체확장 \(R\)과 적당한 소수 p, 원소 \(\rho, v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F\)이 존재하여,

(2)  \(v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}\) 형태로 표현가능하다.

 

 

(증명)

정리 0을 반복해서 사용. ■

 

예)

• 2차 방정식의 근의 공식
  \(ax^2+bx+c=0\)
  \(x_1=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\),  \(x_2=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
   
  
• 3차, 4차 방정식의 근의 공식
  \(x^3 + px + q = 0\)
  \(x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\)
  \(x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\)
  \(x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \)
  

 

 

정리 3. (theorem of natural irrationalities)

\(v_0,v_2,v_3,\cdots, v_{p-1},\rho\) 는 방정식의 해 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 의 유리함수로 표현할 수 있다.

 

 

예)

• 2차 방정식의 근의 공식
  \(ax^2+bx+c=0\) 의 해를 \(x_1,x_2\)라 하면, \(\sqrt{b^2-4ac}=x_1-x_2\) 이다. 
  
• 3차, 4차 방정식의 근의 공식
  

 

 

(증명)

체확장의 높이에 따른 귀납법을 사용하자. 

높이가 1이면, 정리0에 의하여, 적당한 소수 l에 대하여 \(R=F(\sqrt[l]a)\)의 형태로 쓸 수 있다. 정리 1을 적용하면, a는 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\)의 유리함수로 표현가능하며, 따라서 모든  \(R=F(\sqrt[l]a)\)의 원소를 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\)의 유리함수로 표현할 수 있다. \(v_0,v_2,v_3,\cdots, v_{p-1},\rho\)는 모두 R의 원소이므로, 마찬가지로  \(x_1,x_2,\cdots,x_5\)의 유리함수로 쓸 수 있다. 

이제 체확장의 높이가 2이상이면 , \(F\)의 거듭제곱근 체확장 \(R_1\) 이 존재하여, 적당한 소수 l에 대하여 \(R=R_1(\sqrt[l]u)\) 의 형태로 쓸 수 있다. 

귀납법의 가정에 의하여, 체확장 \(R_1\)의 모든 원소들은 방정식의 해 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 의 유리함수로 표현가능하다. 

이제  \(R=R_1(\sqrt[l]u)\)에 정리 1을 적용하면,  u는 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\)의 유리함수로 표현가능하며 따라서 R의 모든 원소는  \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 의 유리함수로 쓸 수 있다. ■

 

 

정리 4.

\(n\geq 5\) 라 하자. 체 \(\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_n)\)의 원소 \(u,a\)가 \(u^p= a\) 를 만족시킨다고 하자. a가 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이면. u도 역시  \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다.

 

(증명)

\(\chi\) 를 u에 의해 정의되는 character 라 하자.

\(\sigma(u)=\chi(\sigma)u\)

\(\tau(u)=\chi(\tau)u\)

 

\(\tau\sigma=(12453)\)

\(\tau\sigma^2=(14532)\)

이므로 \(\chi(\sigma)=1\), \(\chi(\tau)=1\)이다.  ■

 

노트. 여기가 \(n\geq 5\) 조건이 필요한 부분이다.

 

 

정리 5.

\(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5) \subset R \subset K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)\) 인  F의 거듭제곱근 체확장 \(R\)은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다. 

 

(증명)

체확장의 높이에 따른 귀납법을 사용하자. 

높이가 1이면, 정리0에 의하여,  \(R=F(\sqrt[p]a)\)의 형태로 쓸 수 있다. 여기에 정리 3을 적용하면, 체확장 \(R\)은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변임을 알 수 있다.

이제 체확장의 높이가 2이상이면 , \(F\)의 거듭제곱근 체확장 \(R_1\) 이 존재하여, 적당한 소수 p 에 대하여  \(R=R_1(\sqrt[p]u)\) 의 형태로 쓸 수 있다. 귀납법의 가정에 의하여, 체확장 \(R_1\)은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다.  \(R=R_1(\sqrt[p]u)\)에 정리 4을 적용하면, 체확장 \(R\)은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다. ■

 

정리 6. (5차방정식의 근의 공식의 불가능성)

 

(증명)

일반적인 5차방정식 \(x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0\)의 근의 공식이 존재한다고 하고, 다섯 해를 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 라 하자.

정리 2에 의하여, \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)의 적당한 거듭제곱근 체확장 \(R\)과  원소 \(v_0,v_2,v_3,\cdots, v_{p-1},\rho\)이 존재하여,  \(x_1=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}\) 의 꼴로 쓸 수 있다.

정리 3에 의하여, \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5) \subset R \subset K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)\) 를 가정할 수 있다. 

정리 5에 의하여, 거듭제곱근 체확장 \(R\)과  원소 \(v_0,v_2,v_3,v_4,\rho \in R\) 는 모두 \(\sigma,\tau\)에 의해 불변이다. 정리 5를 한번 더 적용하면, \(\sqrt[p]\rho\) 도 역시  \(\sigma,\tau\)에 의하여 불변이다.

따라서  \(x_1=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}\) 의 우변은 \(\sigma\)에 의하여 불변이다. 그러나 \(x_1\)은  \(\sigma\)에 의하여 불변일 수 없으므로 모순이다.  ■

 

 

맴돌이(monodromy)

•  \(3w^5-25w^3+60w-z=0\).
  
• \(z=\pm 38\) and \(z=\pm 16\) 에서 w는 중근을 가진다
  
• 리만곡면의 branch point
  

 

 

재미있는 사실

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
• 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표
•  

 

 

 

 

 

 

수학용어번역

• 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

관련도서

• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
• 도서검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
  • http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=

 

 

관련기사

• 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
  
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=

 

 

블로그

• 구글 블로그 검색
  
  • http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
• 네이버 오늘의과학
• 수학동아
• Mathematical Moments from the AMS
• BetterExplained