"5차방정식의 근의 공식과 아벨의 증명"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
(→증명의 개요) |
|||
| (사용자 2명의 중간 판 14개는 보이지 않습니다) | |||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | + | ==개요== | |
| − | + | * 5차방정식의 근의 방정식이 존재하지 않음에 대한 [[닐스 헨릭 아벨(1802 – 1829)|아벨(1802 – 1829)]]의 증명(에 가까운 증명) | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | * 5차방정식의 근의 방정식이 존재하지 않음에 | ||
* 이 증명은 학부에서 배우는 표준적인 증명과는 성격이 약간 다르다 | * 이 증명은 학부에서 배우는 표준적인 증명과는 성격이 약간 다르다 | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==증명의 개요== | |
* 증명은 크게 세 부분으로 구성<br> | * 증명은 크게 세 부분으로 구성<br> | ||
| − | ** 5차 방정식의 해를 거듭제곱근기호를 써서 표현하는 경우, 근의 | + | ** 5차 방정식의 해를 거듭제곱근기호를 써서 표현하는 경우, 근의 공식이 갖는 일반적인 형태<br> |
| − | ** 거듭제곱근의 기호를 써서 표현할 때 등장하는 | + | ** 거듭제곱근의 기호를 써서 표현할 때 등장하는 수를 방정식의 해의 유리함수로 표현할 수 있다는 사실의 증명<br> |
** 위의 두 사실 사이의 긴장을 이용하여 모순을 이끌어내는 부분<br> | ** 위의 두 사실 사이의 긴장을 이용하여 모순을 이끌어내는 부분<br> | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | * [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]] | + | * [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]]:<math>x^3 + px + q = 0</math>:<math>x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>:<math>x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>:<math>x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} </math><br> |
| − | + | ==근의 공식이 갖는 일반적인 형태의 이해== | |
| − | + | * 위 [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]] 을 다른 형태로 표현해 보자 | |
| − | + | :<math>A=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}},B=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math> | |
| − | + | $$A^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$$ | |
| − | + | $$1/A^3=\frac{27}{p^3}\cdot (\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}})$$ | |
| − | < | + | :<math>AB=\sqrt[3]{-\frac{p^3}{27}}=-\frac{p}{3}</math> |
| + | :<math>B=-\frac{p}{3A}=-\frac{pA^2}{3A^3}=-\frac{9(\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}})}{p^2}A^2</math> | ||
| + | 따라서 | ||
| + | :<math>x_1=A+B=A-\frac{9(\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}})}{p^2}A^2</math><br> | ||
| + | * 거듭제곱근 체확장의 개념을 도입하는 것이 유용하다<br> | ||
| − | + | ||
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==5차방정식 근의 공식의 불가능성 증명== | |
| − | + | ;정리 0 | |
| − | + | 소수 p 에 대하여 <math>F</math>의 거듭제곱근 체확장 <math>R=F(\sqrt[p]a)</math> 이 있다고 하자. | |
| − | + | 원소 <math>v\in R-F</math> 에 대하여, 다음이 성립한다. | |
| − | + | (1) <math>\rho, v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F</math>이 존재하여, | |
| − | ( | + | (2) <math>v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}</math> 형태로 표현가능하다. |
| − | |||
| − | |||
| − | + | ;증명 | |
| − | <math>u_0,u_1, u_2,u_3, \cdots, u_{p-1} \in F</math>가 | + | <math>u_0,u_1, u_2,u_3, \cdots, u_{p-1} \in F</math>가 존재하여 <math>v=u_0+u_1{\sqrt[p]a}+u_2{\sqrt[p]a^2}+u_3{\sqrt[p]a^3}++\cdots+u_{p-1}{\sqrt[p]a^{p-1}}</math>로 쓸 수 있다. |
| − | <math>u_i\sqrt[p]a^i\neq 0 </math> | + | <math>u_i\sqrt[p]a^i\neq 0 </math> 인 i가 적어도 하나 존재한다. <math>\sqrt[p]\rho=u_i\sqrt[p]a^i</math>, 즉 <math>\rho=u_i^p a^i</math> 로 두면 된다. ■ |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ;정리 1 | |
| − | + | 소수 p 에 대하여 <math>F</math>의 거듭제곱근 체확장 <math>R=F(\sqrt[p]a)</math> 이 있다고 하자. | |
| − | + | 원소 <math>v\in R-F</math> 가 F의 계수를 가지는 방정식의 해라고 하고, '''정리 0'''에 따라 <math>v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}</math>로 꼴로 쓸 수 있다. | |
| − | 그러면, 이 방정식의 p개의 | + | 그러면, 이 방정식의 p개의 해 <math>v=\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3, \cdots, \alpha_{p} </math>는 모두 R의 원소이며, <math>\rho, v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F</math> 는 모두 <math>\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3, \cdots, \alpha_{p} </math>의 유리함수 표현으로 쓸 수 있다. |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ;증명 | |
| − | 생략. | + | 생략. ■ |
| − | + | ||
| − | 예 | + | ;예 |
| − | + | <math>\alpha_1=v_0+u+v_2u^2</math> | |
| − | + | <math>\alpha_2=v_0+\zeta u+v_2\zeta^2u^2</math> | |
| − | + | <math>\alpha_3=v_0+\zeta^2 u+v_2\zeta u^2</math> | |
| − | + | ||
<math>v_0=\frac{1}{3}(\alpha_1+\zeta^2\alpha_2+\zeta \alpha_3)</math> | <math>v_0=\frac{1}{3}(\alpha_1+\zeta^2\alpha_2+\zeta \alpha_3)</math> | ||
| 104번째 줄: | 99번째 줄: | ||
<math>u=\frac{1}{3}(\alpha_1+\zeta^2\alpha_2+\zeta \alpha_3)</math> | <math>u=\frac{1}{3}(\alpha_1+\zeta^2\alpha_2+\zeta \alpha_3)</math> | ||
| − | + | ||
| − | 이제 | + | 이제 5차방정식 <math>x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0</math>의 해를 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math> 라 하자. 복소수체에 방정식의 계수들을 넣어 만들어진 체 <math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)</math>를 정의하자. |
| − | + | ||
| − | + | ;정리 2 | |
| − | 이 5차방정식의 | + | 이 5차방정식의 한 해 v를 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 있다고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다. |
| − | (1) | + | (1) <math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)</math>의 적당한 거듭제곱근 체확장 <math>R</math>과 적당한 소수 p, 원소 <math>\rho, v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F</math>이 존재하여, |
| − | (2) | + | (2) <math>v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}</math> 형태로 표현가능하다. |
| − | |||
| − | |||
| − | + | ;증명 | |
| − | '''정리 0'''을 반복해서 사용. | + | '''정리 0'''을 반복해서 사용. ■ |
| − | + | ||
| − | + | ;예 | |
| − | * [[2차 방정식의 근의 공식]] | + | * [[2차 방정식의 근의 공식]] |
| − | * [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]] | + | :<math>ax^2+bx+c=0</math>:<math>x_1=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, x_2=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math><br> <br> |
| + | * [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]]:<math>x^3 + px + q = 0</math>:<math>x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>:<math>x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>:<math>x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} </math><br> | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ;정리 3 (theorem of natural irrationalities) | |
| − | <math>v_0,v_2,v_3,\cdots, v_{p-1},\rho</math> | + | <math>v_0,v_2,v_3,\cdots, v_{p-1},\rho</math> 는 방정식의 해 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math> 의 유리함수로 표현할 수 있다. |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | 예 | + | ;예 |
| − | * [[2차 방정식의 근의 공식]] | + | * [[2차 방정식의 근의 공식]] |
| − | * [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]] | + | * 방정식 <math>ax^2+bx+c=0</math> 의 해를 <math>x_1,x_2</math>라 하면, <math>\sqrt{b^2-4ac}=x_1-x_2</math> 이다. |
| + | * [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]] | ||
| − | + | ||
| − | + | ;증명 | |
| − | + | 체확장의 높이에 따른 귀납법을 사용하자. | |
| − | + | 높이가 1이면, '''정리0'''에 의하여, 적당한 소수 l에 대하여 <math>R=F(\sqrt[l]a)</math>의 형태로 쓸 수 있다. 정리 1을 적용하면, a는 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math>의 유리함수로 표현가능하며, 따라서 모든 <math>R=F(\sqrt[l]a)</math>의 원소를 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math>의 유리함수로 표현할 수 있다. <math>v_0,v_2,v_3,\cdots, v_{p-1},\rho</math>는 모두 R의 원소이므로, 마찬가지로 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math>의 유리함수로 쓸 수 있다. | |
| − | 높이가 | + | 이제 체확장의 높이가 2이상이면 , <math>F</math>의 거듭제곱근 체확장 <math>R_1</math> 이 존재하여, 적당한 소수 l에 대하여 <math>R=R_1(\sqrt[l]u)</math> 의 형태로 쓸 수 있다. |
| − | + | 귀납법의 가정에 의하여, 체확장 <math>R_1</math>의 모든 원소들은 방정식의 해 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math> 의 유리함수로 표현가능하다. | |
| − | + | 이제 <math>R=R_1(\sqrt[l]u)</math>에 '''정리 1'''을 적용하면, u는 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math>의 유리함수로 표현가능하며 따라서 R의 모든 원소는 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math> 의 유리함수로 쓸 수 있다. ■ | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ;정리 4 | |
| − | + | <math>n\geq 5</math> 라 하자. 체 <math>\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_n)</math>의 원소 <math>u,a</math>가 <math>u^p= a</math> 를 만족시킨다고 하자. a가 <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변이면. u도 역시 <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변이다. | |
| − | + | ||
| − | + | ;증명 | |
| − | + | <math>\chi</math> 를 u에 의해 정의되는 character 라 하자. | |
| − | |||
| − | <math>\chi</math> | ||
<math>\sigma(u)=\chi(\sigma)u</math> | <math>\sigma(u)=\chi(\sigma)u</math> | ||
| 184번째 줄: | 177번째 줄: | ||
<math>\tau(u)=\chi(\tau)u</math> | <math>\tau(u)=\chi(\tau)u</math> | ||
| − | + | ||
<math>\tau\sigma=(12453)</math> | <math>\tau\sigma=(12453)</math> | ||
| 190번째 줄: | 183번째 줄: | ||
<math>\tau\sigma^2=(14532)</math> | <math>\tau\sigma^2=(14532)</math> | ||
| − | + | 이므로 <math>\chi(\sigma)=1</math>, <math>\chi(\tau)=1</math>이다. ■ | |
| − | + | ||
| − | 노트. | + | 노트. 여기가 <math>n\geq 5</math> 조건이 필요한 부분이다. |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ;정리 5 | |
| − | <math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5) \subset R \subset K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)</math> | + | <math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5) \subset R \subset K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)</math> 인 F의 거듭제곱근 체확장 <math>R</math>은 <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변이다. |
| − | |||
| − | + | 증명 | |
| − | 체확장의 높이에 | + | 체확장의 높이에 따른 귀납법을 사용하자. |
| − | 높이가 1이면, 정리0에 의하여, | + | 높이가 1이면, 정리0에 의하여, <math>R=F(\sqrt[p]a)</math>의 형태로 쓸 수 있다. 여기에 정리 3을 적용하면, 체확장 <math>R</math>은 <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변임을 알 수 있다. |
| − | 이제 체확장의 높이가 | + | 이제 체확장의 높이가 2이상이면 , <math>F</math>의 거듭제곱근 체확장 <math>R_1</math> 이 존재하여, 적당한 소수 p 에 대하여 <math>R=R_1(\sqrt[p]u)</math> 의 형태로 쓸 수 있다. 귀납법의 가정에 의하여, 체확장 <math>R_1</math>은 <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변이다. <math>R=R_1(\sqrt[p]u)</math>에 '''정리 4'''을 적용하면, 체확장 <math>R</math>은 <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변이다. ■ |
| − | + | ||
| − | + | ===5차방정식의 근의 공식의 불가능성=== | |
| + | 일반적인 5차방정식 <math>x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0</math>의 근의 공식이 존재한다고 하고, 다섯 해를 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math> 라 하자. | ||
| − | + | '''정리 2'''에 의하여, <math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)</math>의 적당한 거듭제곱근 체확장 <math>R</math>과 원소 <math>v_0,v_2,v_3,\cdots, v_{p-1},\rho</math>이 존재하여, <math>x_1=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}</math> 의 꼴로 쓸 수 있다. | |
| − | ( | + | '''정리 3'''에 의하여, <math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5) \subset R \subset K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)</math> 를 가정할 수 있다. |
| − | + | '''정리 5'''에 의하여, 거듭제곱근 체확장 <math>R</math>과 원소 <math>v_0,v_2,v_3,v_4,\rho \in R</math> 는 모두 <math>\sigma,\tau</math>에 의해 불변이다. 정리 5를 한번 더 적용하면, <math>\sqrt[p]\rho</math> 도 역시 <math>\sigma,\tau</math>에 의하여 불변이다. | |
| − | + | 따라서 <math>x_1=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}</math> 의 우변은 <math>\sigma</math>에 의하여 불변이다. 그러나 <math>x_1</math>은 <math>\sigma</math>에 의하여 불변일 수 없으므로 모순이다. ■ | |
| − | + | ||
| − | |||
| − | + | ==맴돌이(monodromy)== | |
| − | + | * <math>3w^5-25w^3+60w-z=0</math>.<br> | |
| − | + | * <math>z=\pm 38</math> and <math>z=\pm 16</math> 에서 w는 중근을 가진다<br> | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | * | ||
| − | * <math>z=\pm 38</math> | ||
* 리만곡면의 branch point<br> | * 리만곡면의 branch point<br> | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | ==역사== | |
| − | + | ||
| − | |||
| − | |||
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q= | * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q= | ||
| − | * [[ | + | * [[수학사 연표]] |
| − | * | + | * |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | ==메모== | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ==관련된 항목들== | |
| − | |||
| − | + | ==관련도서== | |
| − | * | + | * Abel's Proof<br> |
| − | ** | + | ** Peter Pesic, Chapter 6. 'Abel's proof' 85-94p ([[2284146/attachments/1125756|pdf]]) |
| − | * | + | * [http://www.amazon.com/Galois-Theory-Algebraic-Equations-Jean-Pierre/dp/9810245416/ref=sr_1_1/192-3053250-5244809?ie=UTF8&s=books&qid=1228931227&sr=1-1 Galois' Theory of Algebraic Equations]<br> |
| − | ** | + | ** Jean-Pierre Tignol, Chapter 13. Ruffini and Abel on general equations ([[2284146/attachments/1015504|pdf]]) |
| − | |||
| − | + | ==리뷰, 에세이, 강의노트== | |
| + | * Skopenkov, A. “A Short Elementary Proof of the Ruffini-Abel Theorem.” arXiv:1508.03317 [math], August 13, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.03317. | ||
| − | |||
| − | + | [[분류:방정식과 근의 공식]] | |
| − | + | [[분류:추상대수학]] | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
2020년 7월 13일 (월) 06:54 판
개요
- 5차방정식의 근의 방정식이 존재하지 않음에 대한 아벨(1802 – 1829)의 증명(에 가까운 증명)
- 이 증명은 학부에서 배우는 표준적인 증명과는 성격이 약간 다르다
증명의 개요
- 증명은 크게 세 부분으로 구성
- 5차 방정식의 해를 거듭제곱근기호를 써서 표현하는 경우, 근의 공식이 갖는 일반적인 형태
- 거듭제곱근의 기호를 써서 표현할 때 등장하는 수를 방정식의 해의 유리함수로 표현할 수 있다는 사실의 증명
- 위의 두 사실 사이의 긴장을 이용하여 모순을 이끌어내는 부분
- 5차 방정식의 해를 거듭제곱근기호를 써서 표현하는 경우, 근의 공식이 갖는 일반적인 형태
- 3차, 4차 방정식의 근의 공식\[x^3 + px + q = 0\]\[x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\]\[x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\]\[x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \]
근의 공식이 갖는 일반적인 형태의 이해
- 위 3차, 4차 방정식의 근의 공식 을 다른 형태로 표현해 보자
\[A=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}},B=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\]
$$A^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$$
$$1/A^3=\frac{27}{p^3}\cdot (\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}})$$
\[AB=\sqrt[3]{-\frac{p^3}{27}}=-\frac{p}{3}\]
\[B=-\frac{p}{3A}=-\frac{pA^2}{3A^3}=-\frac{9(\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}})}{p^2}A^2\]
따라서
\[x_1=A+B=A-\frac{9(\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}})}{p^2}A^2\]
- 거듭제곱근 체확장의 개념을 도입하는 것이 유용하다
5차방정식 근의 공식의 불가능성 증명
- 정리 0
소수 p 에 대하여 \(F\)의 거듭제곱근 체확장 \(R=F(\sqrt[p]a)\) 이 있다고 하자.
원소 \(v\in R-F\) 에 대하여, 다음이 성립한다.
(1) \(\rho, v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F\)이 존재하여,
(2) \(v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}\) 형태로 표현가능하다.
- 증명
\(u_0,u_1, u_2,u_3, \cdots, u_{p-1} \in F\)가 존재하여 \(v=u_0+u_1{\sqrt[p]a}+u_2{\sqrt[p]a^2}+u_3{\sqrt[p]a^3}++\cdots+u_{p-1}{\sqrt[p]a^{p-1}}\)로 쓸 수 있다.
\(u_i\sqrt[p]a^i\neq 0 \) 인 i가 적어도 하나 존재한다. \(\sqrt[p]\rho=u_i\sqrt[p]a^i\), 즉 \(\rho=u_i^p a^i\) 로 두면 된다. ■
- 정리 1
소수 p 에 대하여 \(F\)의 거듭제곱근 체확장 \(R=F(\sqrt[p]a)\) 이 있다고 하자.
원소 \(v\in R-F\) 가 F의 계수를 가지는 방정식의 해라고 하고, 정리 0에 따라 \(v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}\)로 꼴로 쓸 수 있다.
그러면, 이 방정식의 p개의 해 \(v=\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3, \cdots, \alpha_{p} \)는 모두 R의 원소이며, \(\rho, v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F\) 는 모두 \(\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3, \cdots, \alpha_{p} \)의 유리함수 표현으로 쓸 수 있다.
- 증명
생략. ■
- 예
\(\alpha_1=v_0+u+v_2u^2\)
\(\alpha_2=v_0+\zeta u+v_2\zeta^2u^2\)
\(\alpha_3=v_0+\zeta^2 u+v_2\zeta u^2\)
\(v_0=\frac{1}{3}(\alpha_1+\zeta^2\alpha_2+\zeta \alpha_3)\)
\(u=\frac{1}{3}(\alpha_1+\zeta^2\alpha_2+\zeta \alpha_3)\)
이제 5차방정식 \(x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0\)의 해를 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 라 하자. 복소수체에 방정식의 계수들을 넣어 만들어진 체 \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)를 정의하자.
- 정리 2
이 5차방정식의 한 해 v를 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 있다고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다.
(1) \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)의 적당한 거듭제곱근 체확장 \(R\)과 적당한 소수 p, 원소 \(\rho, v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F\)이 존재하여,
(2) \(v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}\) 형태로 표현가능하다.
- 증명
정리 0을 반복해서 사용. ■
- 예
\[ax^2+bx+c=0\]\[x_1=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, x_2=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
- 3차, 4차 방정식의 근의 공식\[x^3 + px + q = 0\]\[x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\]\[x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\]\[x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \]
- 정리 3 (theorem of natural irrationalities)
\(v_0,v_2,v_3,\cdots, v_{p-1},\rho\) 는 방정식의 해 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 의 유리함수로 표현할 수 있다.
- 예
- 2차 방정식의 근의 공식
- 방정식 \(ax^2+bx+c=0\) 의 해를 \(x_1,x_2\)라 하면, \(\sqrt{b^2-4ac}=x_1-x_2\) 이다.
- 3차, 4차 방정식의 근의 공식
- 증명
체확장의 높이에 따른 귀납법을 사용하자.
높이가 1이면, 정리0에 의하여, 적당한 소수 l에 대하여 \(R=F(\sqrt[l]a)\)의 형태로 쓸 수 있다. 정리 1을 적용하면, a는 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\)의 유리함수로 표현가능하며, 따라서 모든 \(R=F(\sqrt[l]a)\)의 원소를 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\)의 유리함수로 표현할 수 있다. \(v_0,v_2,v_3,\cdots, v_{p-1},\rho\)는 모두 R의 원소이므로, 마찬가지로 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\)의 유리함수로 쓸 수 있다.
이제 체확장의 높이가 2이상이면 , \(F\)의 거듭제곱근 체확장 \(R_1\) 이 존재하여, 적당한 소수 l에 대하여 \(R=R_1(\sqrt[l]u)\) 의 형태로 쓸 수 있다.
귀납법의 가정에 의하여, 체확장 \(R_1\)의 모든 원소들은 방정식의 해 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 의 유리함수로 표현가능하다.
이제 \(R=R_1(\sqrt[l]u)\)에 정리 1을 적용하면, u는 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\)의 유리함수로 표현가능하며 따라서 R의 모든 원소는 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 의 유리함수로 쓸 수 있다. ■
- 정리 4
\(n\geq 5\) 라 하자. 체 \(\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_n)\)의 원소 \(u,a\)가 \(u^p= a\) 를 만족시킨다고 하자. a가 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이면. u도 역시 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다.
- 증명
\(\chi\) 를 u에 의해 정의되는 character 라 하자.
\(\sigma(u)=\chi(\sigma)u\)
\(\tau(u)=\chi(\tau)u\)
\(\tau\sigma=(12453)\)
\(\tau\sigma^2=(14532)\)
이므로 \(\chi(\sigma)=1\), \(\chi(\tau)=1\)이다. ■
노트. 여기가 \(n\geq 5\) 조건이 필요한 부분이다.
- 정리 5
\(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5) \subset R \subset K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)\) 인 F의 거듭제곱근 체확장 \(R\)은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다.
증명
체확장의 높이에 따른 귀납법을 사용하자.
높이가 1이면, 정리0에 의하여, \(R=F(\sqrt[p]a)\)의 형태로 쓸 수 있다. 여기에 정리 3을 적용하면, 체확장 \(R\)은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변임을 알 수 있다.
이제 체확장의 높이가 2이상이면 , \(F\)의 거듭제곱근 체확장 \(R_1\) 이 존재하여, 적당한 소수 p 에 대하여 \(R=R_1(\sqrt[p]u)\) 의 형태로 쓸 수 있다. 귀납법의 가정에 의하여, 체확장 \(R_1\)은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다. \(R=R_1(\sqrt[p]u)\)에 정리 4을 적용하면, 체확장 \(R\)은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다. ■
5차방정식의 근의 공식의 불가능성
일반적인 5차방정식 \(x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0\)의 근의 공식이 존재한다고 하고, 다섯 해를 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 라 하자.
정리 2에 의하여, \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)의 적당한 거듭제곱근 체확장 \(R\)과 원소 \(v_0,v_2,v_3,\cdots, v_{p-1},\rho\)이 존재하여, \(x_1=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}\) 의 꼴로 쓸 수 있다.
정리 3에 의하여, \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5) \subset R \subset K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)\) 를 가정할 수 있다.
정리 5에 의하여, 거듭제곱근 체확장 \(R\)과 원소 \(v_0,v_2,v_3,v_4,\rho \in R\) 는 모두 \(\sigma,\tau\)에 의해 불변이다. 정리 5를 한번 더 적용하면, \(\sqrt[p]\rho\) 도 역시 \(\sigma,\tau\)에 의하여 불변이다.
따라서 \(x_1=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}\) 의 우변은 \(\sigma\)에 의하여 불변이다. 그러나 \(x_1\)은 \(\sigma\)에 의하여 불변일 수 없으므로 모순이다. ■
맴돌이(monodromy)
- \(3w^5-25w^3+60w-z=0\).
- \(z=\pm 38\) and \(z=\pm 16\) 에서 w는 중근을 가진다
- 리만곡면의 branch point
역사
메모
관련된 항목들
관련도서
- Abel's Proof
- Peter Pesic, Chapter 6. 'Abel's proof' 85-94p (pdf)
- Galois' Theory of Algebraic Equations
- Jean-Pierre Tignol, Chapter 13. Ruffini and Abel on general equations (pdf)
리뷰, 에세이, 강의노트
- Skopenkov, A. “A Short Elementary Proof of the Ruffini-Abel Theorem.” arXiv:1508.03317 [math], August 13, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.03317.