"5항 관계식 (5-term relation)"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
| 25번째 줄: | 25번째 줄: | ||
* 로저스 다이로그 함수 <math>L(x)</math>에 대하여 다음이 성립한다<br><math>0\leq x,y\leq 1</math> 일 때,<br><math>L(x)+L(1-xy)+L(y)+L(\frac{1-y}{1-xy})+L\Left( \frac{1-x}{1-xy} )\right)=\frac{\pi^2}{2}</math><br> | * 로저스 다이로그 함수 <math>L(x)</math>에 대하여 다음이 성립한다<br><math>0\leq x,y\leq 1</math> 일 때,<br><math>L(x)+L(1-xy)+L(y)+L(\frac{1-y}{1-xy})+L\Left( \frac{1-x}{1-xy} )\right)=\frac{\pi^2}{2}</math><br> | ||
* <math>1-x_{i}=x_{i-1}x_{i+1}</math>, <math>x_0=x</math>, <math>x_2=y</math>로 정의되는 점화식은 주기가 5인 수열이 된다<br><math>x_0=x, x_1=1-xy, x_2=y, x_3=\frac{1-y}{1-xy}, x_4=\frac{1-x}{1-xy}</math><br> | * <math>1-x_{i}=x_{i-1}x_{i+1}</math>, <math>x_0=x</math>, <math>x_2=y</math>로 정의되는 점화식은 주기가 5인 수열이 된다<br><math>x_0=x, x_1=1-xy, x_2=y, x_3=\frac{1-y}{1-xy}, x_4=\frac{1-x}{1-xy}</math><br> | ||
| − | * | + | * 집합 <math>\{0,1,\infty,y,xy\}</math> 에서 4개의 원소를 뽑아 얻어지는 [[교차비(cross ratio)]] |
| 108번째 줄: | 108번째 줄: | ||
[http://dx.doi.org/10.1023/A:1009709927327 ] | [http://dx.doi.org/10.1023/A:1009709927327 ] | ||
| + | * Kashaev, R. M. 2004. “The q-binomial formula and the Rogers dilogarithm identity”. <em>math/0407078</em> (7월 6). http://arxiv.org/abs/math/0407078. | ||
* '''[GM1997]'''[http://dx.doi.org/10.1023/A:1009709927327 Algebraic Dilogarithm Identities]<br> | * '''[GM1997]'''[http://dx.doi.org/10.1023/A:1009709927327 Algebraic Dilogarithm Identities]<br> | ||
** Basil Gordon and Richard J. Mcintosh, 1997 | ** Basil Gordon and Richard J. Mcintosh, 1997 | ||
2011년 6월 2일 (목) 10:39 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 다이로그
로저스 다이로그 함수
- 로저스 다이로그 함수 (Roger's dilogarithm) 의 정의
\(x\in (0,1)\)에서 로저스 dilogarithm을 다음과 같이 정의
\(L(x)=\operatorname{Li}_2(x)+\frac{1}{2}\log x\log (1-x)=-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\frac{\log(1-y)}{y}+\frac{\log(1-y)}{1-y}dy\)
5항 관계식
- 로저스 다이로그 함수 \(L(x)\)에 대하여 다음이 성립한다
\(0\leq x,y\leq 1\) 일 때,
\(L(x)+L(1-xy)+L(y)+L(\frac{1-y}{1-xy})+L\Left( \frac{1-x}{1-xy} )\right)=\frac{\pi^2}{2}\) - \(1-x_{i}=x_{i-1}x_{i+1}\), \(x_0=x\), \(x_2=y\)로 정의되는 점화식은 주기가 5인 수열이 된다
\(x_0=x, x_1=1-xy, x_2=y, x_3=\frac{1-y}{1-xy}, x_4=\frac{1-x}{1-xy}\) - 집합 \(\{0,1,\infty,y,xy\}\) 에서 4개의 원소를 뽑아 얻어지는 교차비(cross ratio)
q-이항정리를 통한 증명
- [GM1997]참고
- q-이항정리
\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}b^n=\frac{(ab;q)_{\infty}}{(b;q)_{\infty}}\) - z를 \((1-az)b=1-z\) 의 해로 정의, 즉
\(z=\frac{1-b}{1-ab}\) - \(q=e^{-t}\)이고 t가 0으로 갈 때, 양변의 근사식은 다음과 같다
좌변 \(\frac{\operatorname{Li}_2(az)-\operatorname{Li}_2(a)-\operatorname{Li}_2(z)+\operatorname{Li}_2(1)-\log z\log b}{t}\)
우변 \(\frac{\operatorname{Li}_2(b)-\operatorname{Li}_2(ab)}{t}\) - 양변의 근사식을 비교하여 5항 관계식을 얻는다
\(\operatorname{Li}_2(az)-\operatorname{Li}_2(a)-\operatorname{Li}_2(z)+\operatorname{Li}_2(1)-\log z\log b}=\operatorname{Li}_2(b)-\operatorname{Li}_2(ab)}\)
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- Kashaev, R. M. 2004. “The q-binomial formula and the Rogers dilogarithm identity”. math/0407078 (7월 6). http://arxiv.org/abs/math/0407078.
- [GM1997]Algebraic Dilogarithm Identities
- Basil Gordon and Richard J. Mcintosh, 1997
관련도서
- 도서내검색
- 도서검색
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)