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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
  
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* [[Epstein 제타함수와 크로네커 극한 공식|Epstein 제타함수]]에 대한 공식과 [[#]]<br>
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* [[Epstein 제타함수와 크로네커 극한 공식|Epstein 제타함수]]에 대한 공식과 [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]] 에의 응용<br>
  
 
 
 
 
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<math>d_K</math>를 판별식으로 갖는 복소이차수체 <math>K</math>에 대하여, [[디리클레 L-함수]]는 다음을 만족시킴
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">제1종 타원적분</h5>
  
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<math>L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})</math>
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* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]이 자연수 n 에 대하여 다음을 만족시킨다고 하자.<br><math>\frac{K'}{K}(k):=\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}= \sqrt n </math><br>
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* [[오일러 베타적분(베타함수)|오일러 베타적분]]에서 얻어진 공식을 이용하자<br><math>\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^n}}=\frac{1}{n}B(\frac{1}{2},\frac{1}{n})</math> (여기서 <math>n>0</math>) <br>
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* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]]<br><math>4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots</math><br>
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* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]<br><math>\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=\frac{1}{3}B(\frac{1}{2},\frac{1}{3})=\frac{1}{6}B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})</math><br><math>6\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\sqrt{\pi}}=8.413\cdots</math><br>
  
 
 
 
 
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">Chowla-셀베르그의 정리</h5>
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">예</h5>
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<math>i\frac{K'}{K}(k)=i\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}</math> 가 복소이차수체 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{d})</math>의 원소일 때, 
  
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* [[디리클레 베타함수]]<br><math>K=\mathbb{Q}(i)</math><br><math>\beta'(1)=L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})</math><br>
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*   <br><math>K=\mathbb{Q}(\omega)</math>, <math>\omega^2+\omega+1=0</math><br><math>L_{-3}'(1)=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{\sqrt{3}}\ln(\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(2/3)})</math><br>
 
  
 
 
 
 
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">타원적분과의 관계</h5>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">디리클레 L-함수의 미분</h5>
  
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* [[오일러 베타적분(베타함수)|오일러 베타적분]]에서 얻어진 공식을 이용하자<br><math>\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^n}}=\frac{1}{n}B(\frac{1}{2},\frac{1}{n})</math> (여기서 <math>n>0</math>) <br>
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* <math>d_K</math>를 판별식으로 갖는 복소이차수체 <math>K</math>에 대하여, [[디리클레 L-함수]]는 다음을 만족시킴<br><math>L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})</math><br>
  
 
 
 
 
  
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* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]]<br><math>4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots</math><br>
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* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]<br><math>\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=\frac{1}{3}B(\frac{1}{2},\frac{1}{3})=\frac{1}{6}B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})</math><br><math>6\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\sqrt{\pi}}=8.413\cdots</math><br>
 
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">예</h5>
  
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* [[디리클레 베타함수]]<br><math>K=\mathbb{Q}(i)</math><br><math>\beta'(1)=L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})</math><br>
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* <math>K=\mathbb{Q}(\omega)</math>, <math>\omega^2+\omega+1=0</math><br><math>L_{-3}'(1)=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{\sqrt{3}}\ln(\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(2/3)})</math><br>
  
 
 
 
 

2010년 5월 26일 (수) 11:44 판

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개요

 

 

 

Epstein 제타함수
  •  
    양의 정부호인 정수계수이차형식 \(Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2\) (즉\(a>0\),\(\Delta=b^2-4ac<0\)) 에 대하여 다음과 같은 함수를 정의
    \(\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}\)

 

 

 

제1종 타원적분
  • lemniscate 곡선의 길이와 타원적분
    \(4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots\)
  • 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
    \(\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=\frac{1}{3}B(\frac{1}{2},\frac{1}{3})=\frac{1}{6}B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})\)
    \(6\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\sqrt{\pi}}=8.413\cdots\)

 

 

Chowla-셀베르그의 정리

\(i\frac{K'}{K}(k)=i\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}\) 가 복소이차수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{d})\)의 원소일 때, 

 

 

 

 

디리클레 L-함수의 미분
  • \(d_K\)를 판별식으로 갖는 복소이차수체 \(K\)에 대하여, 디리클레 L-함수는 다음을 만족시킴
    \(L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\)

 

 

예
  • 디리클레 베타함수
    \(K=\mathbb{Q}(i)\)
    \(\beta'(1)=L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})\)
  • \(K=\mathbb{Q}(\omega)\), \(\omega^2+\omega+1=0\)
    \(L_{-3}'(1)=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{\sqrt{3}}\ln(\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(2/3)})\)

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

메모

 

 

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