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− | * [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]] | + | * [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]]:<math>4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots</math><br> |
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* 소수 p에 대하여, 복소이차수체 <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})</math>의 [[수체의 class number|class number]] 가 1인 경우, [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)|제1종타원적분 K]]에 대하여 다음이 성립한다.<br> | * 소수 p에 대하여, 복소이차수체 <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})</math>의 [[수체의 class number|class number]] 가 1인 경우, [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)|제1종타원적분 K]]에 대하여 다음이 성립한다.<br> | ||
− | * <math>\frac{K'}{K}(k)=\sqrt{p}</math> 를 만족시키는 k를 찾자. | + | * <math>\frac{K'}{K}(k)=\sqrt{p}</math> 를 만족시키는 k를 찾자.:<math>\frac{K(k)}{2\pi}=\frac{2^{1/3}(kk')^{-1/6}}{\sqrt{2\pi p}}\{\prod_{m=1}^{|d_K|}\Gamma(\frac{m}{|d_K|})^{\left(\frac{d_K}{m}\right)}\}^{w_{K}}</math><br> |
− | * <math>p=3</math>인 경우 | + | * <math>p=3</math>인 경우:<math>\frac{K}{2\pi}=\frac{2^{2/3}}{\sqrt{6\pi}}(\frac{\Gamma(\frac{1}{3})}{\Gamma(\frac{2}{3})})^{3/2}</math><br> |
− | * <math>p=7</math>인 경우 | + | * <math>p=7</math>인 경우:<math>\frac{K}{2\pi}=\frac{2}{\sqrt{14\pi}}\sqrt{\frac{\Gamma(\frac{1}{7})\Gamma(\frac{2}{7})\Gamma(\frac{4}{7})}{\Gamma(\frac{3}{7})\Gamma(\frac{5}{7})\Gamma(\frac{6}{7})}}</math><br> |
2013년 1월 12일 (토) 10:03 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
Epstein 제타함수
- 양의 정부호인 정수계수이차형식 \(Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2\) (즉\(a>0\),\(\Delta=b^2-4ac<0\)) 에 대하여 다음과 같이 정의\[\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}\]
제1종 타원적분
- 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind) 에서는 다음과 같은 경우에 대하여, 타원적분의 값을 구체적으로 얻었다\[\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1\] 이면, \(K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots\)\[\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2}\] 이면, \(K(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{2^{13/4}}B(\frac{1}{8},\frac{3}{8})=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\Gamma(\frac{1}{8})\Gamma(\frac{3}{8})}{2^{13/4}\sqrt{\pi}}\)\[\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3}\] 이면, \(K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=1.5981420\cdots\)
- lemniscate 곡선의 길이와 타원적분\[4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots\]
- 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)\[\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=\frac{1}{3}B(\frac{1}{2},\frac{1}{3})=\frac{1}{6}B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})\]\[6\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\sqrt{\pi}}=8.413\cdots\]
Chowla-셀베르그의 정리
- (정리)\[i\frac{K'}{K}(k)=i\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}\] 가 \(d_K\)를 판별식으로 갖는 복소이차수체 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{d_K})\)의 원소일 때, 제1종타원적분 K에 대하여 다음이 성립한다.\[{K}(k)=\lambda\sqrt{\pi}\{\prod_{m=1}^{|d_K|}\Gamma(\frac{m}{|d_K|})^{\left(\frac{d_K}{m}\right)}\}^{w_{K}/{4h_{K}}}\] 여기서 \(\lambda\)는 적당한 대수적수.
Chowla-셀베르그의 정리의 특수한 경우
- 소수 p에 대하여, 복소이차수체 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})\)의 class number 가 1인 경우, 제1종타원적분 K에 대하여 다음이 성립한다.
- \(\frac{K'}{K}(k)=\sqrt{p}\) 를 만족시키는 k를 찾자.\[\frac{K(k)}{2\pi}=\frac{2^{1/3}(kk')^{-1/6}}{\sqrt{2\pi p}}\{\prod_{m=1}^{|d_K|}\Gamma(\frac{m}{|d_K|})^{\left(\frac{d_K}{m}\right)}\}^{w_{K}}\]
- \(p=3\)인 경우\[\frac{K}{2\pi}=\frac{2^{2/3}}{\sqrt{6\pi}}(\frac{\Gamma(\frac{1}{3})}{\Gamma(\frac{2}{3})})^{3/2}\]
- \(p=7\)인 경우\[\frac{K}{2\pi}=\frac{2}{\sqrt{14\pi}}\sqrt{\frac{\Gamma(\frac{1}{7})\Gamma(\frac{2}{7})\Gamma(\frac{4}{7})}{\Gamma(\frac{3}{7})\Gamma(\frac{5}{7})\Gamma(\frac{6}{7})}}\]
역사
메모
- p-adic case Gross-Koblitz form
관련된 항목들
- 데데킨트 에타함수
- Epstein 제타함수와 크로네커 극한 공식
- 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
- 렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분
- 감마함수
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Chowla-Selberg_formula
- http://en.wikipedia.org/wiki/Sarvadaman_Chowla
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- The lord of the numbers, Atle Selberg. On his life and mathematics
- Baas, Nils A.; Skau, Christian F. (2008), Bull. Amer. Math. Soc. 45: 617–649,
- Interview with Selberg
- On the periods of abelian integrals and a formula of Chowla and Selberg
- Benedict H. Gross, Inventiones Mathematicae, Volume 45, Number 2 / 1978년 6월
- On Epstein's Zeta-function
- S. Chowla; A. Selberg, J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967
- On Epstein's Zeta Function (I)
- S. Chowla and A. Selberg Proc Natl Acad Sci U S A. 1949 July; 35(7): 371–374
- On Epstein's Zeta Function
- Max F. Deuring, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 38, No. 3 (Jul., 1937), pp. 585-593
관련도서
- Elliptic Functions According to Eisenstein and Kronecker A.Weil, Springer, 1998