"Chowla-셀베르그 공식"의 두 판 사이의 차이

2014년 7월 23일 (수) 21:10 판

개요

복소이차수체 $F$에 대하여, $\mathcal{O}_{F}$에 의한 Complex multiplication을 갖는 타원곡선의 주기를 감마함수의 값을 이용하여 표현
제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)의 어떤 값을 감마함수로 표현하는 공식으로 나타난다
엡슈타인 제타함수에 대한 공식
CM 아벨 다양체의 주기 (period)에 대한 문제로 일반화

엡슈타인 제타함수

양의 정부호인 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms) $Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2$ (즉$a>0$,$\Delta=b^2-4ac<0$) 에 대하여 엡슈타인 제타함수 $\zeta_Q$를 다음과 같이 정의

\[\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}\]

제1종 타원적분

제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind) 에서는 다음과 같은 경우에 대하여, 타원적분의 값을 구체적으로 얻었다

\[\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1 \Rightarrow K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots\] \[\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2} \Rightarrow K(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{2^{13/4}}B(\frac{1}{8},\frac{3}{8})=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\Gamma(\frac{1}{8})\Gamma(\frac{3}{8})}{2^{13/4}\sqrt{\pi}}\] \[\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3} \Rightarrow K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=1.5981420\cdots\]

lemniscate 곡선의 길이와 타원적분\[4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots\]
제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)\[\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=\frac{1}{3}B(\frac{1}{2},\frac{1}{3})=\frac{1}{6}B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})\]\[6\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\sqrt{\pi}}=8.413\cdots\]

Chowla-셀베르그의 정리

정리

$k$에 대하여, 다음의 값 \[i\frac{K'}{K}(k):=i\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}\] 이 $d_F$를 판별식으로 갖는 복소이차수체 $F=\mathbb{Q}(\sqrt{d_F})$의 원소일 때, 제1종타원적분 K에 대하여 다음이 성립한다 \[{K}(k)=\lambda\sqrt{\pi}\left(\prod_{m=1}^{|d_F|}\Gamma(\frac{m}{|d_F|})^{\left(\frac{d_F}{m}\right)}\right)^{\frac{w_{F}}{4h_{F}}}\] 여기서 $\lambda$는 적당한 대수적수.

특수한 경우

소수 p에 대하여, 복소이차수체 $F=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$의 class number 가 1인 경우, 제1종타원적분 K에 대하여 다음이 성립한다

\[\frac{2K(k)}{\pi}=\frac{2^{1/3}(kk')^{-1/6}}{\sqrt{2\pi p}}\left(\prod_{m=1}^{|d_F|}\Gamma(\frac{m}{|d_F|})^{\left(\frac{d_F}{m}\right)}\right)^{w_{F}/4}\] 여기서 $k$는 $\frac{K'}{K}(k)=\sqrt{p}$의 해이고, $k'=\sqrt{1-k^2}$.

예

$p=3$인 경우

\[\frac{2K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)}{\pi}=\frac{2^{2/3}}{\sqrt{6\pi}}\left(\frac{\Gamma(\frac{1}{3})}{\Gamma(\frac{2}{3})}\right)^{3/2}\]

$p=7$인 경우

\[\frac{2K\left(\frac{1}{4} \sqrt{8-3 \sqrt{7}}\right)}{\pi}=\frac{2}{\sqrt{14\pi}}\sqrt{\frac{\Gamma(\frac{1}{7})\Gamma(\frac{2}{7})\Gamma(\frac{4}{7})}{\Gamma(\frac{3}{7})\Gamma(\frac{5}{7})\Gamma(\frac{6}{7})}}\]

증명의 아이디어

복소 이차 수체 $K$의 데데킨트 제타함수 $\zeta_K(s)$의 $s=1$에서의 행동을 이해하여 얻어진다
$d_K$를 나누지 않는 소수 $p$에 대하여 $\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)$ 를 만족시키는 준동형사상 $\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}$
디리클레 L-함수 $L(s, \chi)$
$\zeta_K(s)$는 다음과 같이 분해된다 (이차 수체의 데데킨트 제타함수 항목 참조)

\[\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(s,\chi)\]

$s=1$에서 다음이 성립한다

$$ \begin{align} \zeta(s)&=\frac{1}{s-1}+\gamma+\cdots \\ L(s,\chi)&=(\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}})+\left(\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\right)(s-1)+\cdots \end{align} $$

따라서

$$ \zeta_{K}(s)=\frac{2 \pi h_K}{(s-1) w_K \sqrt{\left|d_K\right|}}+\frac{4 \pi \gamma h_K+2 \pi \log (2 \pi ) h_K-\pi w_K \sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})}{w_K \sqrt{\left|d_K\right|}}+O(s-1)+\cdots $$

한편, $\zeta_K(s)$는 부분 데데킨트 제타함수의 합으로 쓰여진다

\[\zeta_{K}(s)=\sum_{A \in C_K}\zeta_{K}(s,A)\]

$K$가 복소 이차 수체일 때, $\zeta_{K}(s,A)$는 엡슈타인 제타함수가 되며, $s=1$에서의 행동은 크로네커 극한 공식으로 기술할 수 있다
이렇게 두 가지 방법으로 얻어진 $\zeta_{K}(s)$의 $s=1$에서의 로랑전개의 상수항을 비교한다

메모

p-adic case Gross-Koblitz form
Koyama, Shin-ya, and Nobushige Kurokawa. "Kummer's formula for multiple gamma functions." JOURNAL-RAMANUJAN MATHEMATICAL SOCIETY 18.1 (2003): 87-107. http://www.math.titech.ac.jp/~tosho/Preprints/pdf/128.pdf

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxLTdHdTJyMkhwUGc/edit

사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

Elizalde, Chowla-Selberg and other formulas useful for zeta regularization
http://mathoverflow.net/questions/87551/can-elliptic-integral-singular-values-generate-cubic-polynomials-with-integer-co
The lord of the numbers, Atle Selberg. On his life and mathematics
- Baas, Nils A.; Skau, Christian F. (2008), Bull. Amer. Math. Soc. 45: 617–649,
- Interview with Selberg

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 ==리뷰, 에세이, 강의노트==
+* Elizalde, [http://benasque.org/2012msqs/talks_contr/111_Elizalde.pdf Chowla-Selberg and other formulas useful for zeta regularization]
 * http://mathoverflow.net/questions/87551/can-elliptic-integral-singular-values-generate-cubic-polynomials-with-integer-co
 * [http://dx.doi.org/10.1090%2FS0273-0979-08-01223-8 The lord of the numbers, Atle Selberg. On his life and mathematics]
 ** Baas, Nils A.; Skau, Christian F. (2008), Bull. Amer. Math. Soc. 45: 617–649,
 ** Interview with Selberg
 ==관련논문==