"Chowla-셀베르그 공식"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소==
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==개요==
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* 복소이차수체 <math>F</math>에 대하여, <math>\mathcal{O}_{F}</math>에 의한 [[Complex multiplication]]을 갖는 [[타원곡선의 주기]]를 [[감마함수]]의 값을 이용하여 표현
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* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]의 어떤 값을 감마함수로 표현하는 공식으로 나타난다
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* [[엡슈타인 제타함수]]에 대한 공식
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* CM 아벨 다양체의 [[주기 (period)]]에 대한 문제로 일반화
  
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* [[Chowla-셀베르그 공식]]<br>
 
  
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==엡슈타인 제타함수==
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* 양의 정부호인 [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]] <math>Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2</math> (즉<math>a>0</math>,<math>\Delta=b^2-4ac<0</math>) 에 대하여 [[엡슈타인 제타함수]] <math>\zeta_Q</math>를 다음과 같이 정의
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:<math>\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}</math>
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요==
 
  
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* [[Epstein 제타함수와 크로네커 극한 공식|Epstein 제타함수]]에 대한 공식과 [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]] 에의 응용<br>
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==제1종 타원적분==
  
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* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]] 에서는 다음과 같은 경우에 대하여, 타원적분의 값을 구체적으로 얻었다
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:<math>\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1 \Rightarrow K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots</math>
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:<math>\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2} \Rightarrow K(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{2^{13/4}}B(\frac{1}{8},\frac{3}{8})=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\Gamma(\frac{1}{8})\Gamma(\frac{3}{8})}{2^{13/4}\sqrt{\pi}}</math>
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:<math>\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3} \Rightarrow K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=1.5981420\cdots</math>
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* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]]:<math>4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots</math>
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* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]:<math>\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=\frac{1}{3}B(\frac{1}{2},\frac{1}{3})=\frac{1}{6}B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})</math>:<math>6\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\sqrt{\pi}}=8.413\cdots</math>
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">Epstein 제타함수==
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==Chowla-셀베르그의 정리==
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;정리
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<math>k</math>에 대하여, 다음의 값
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:<math>i\frac{K'}{K}(k):=i\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}</math> 이 <math>d_F</math>를 판별식으로 갖는 복소이차수체 <math>F=\mathbb{Q}(\sqrt{d_F})</math>의 원소일 때, [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)|제1종타원적분 K]]에 대하여 다음이 성립한다
 +
:<math>{K}(k)=\lambda\sqrt{\pi}\left(\prod_{m=1}^{|d_F|}\Gamma(\frac{m}{|d_F|})^{\left(\frac{d_F}{m}\right)}\right)^{\frac{w_{F}}{4h_{F}}}</math> 여기서 <math>\lambda</math>는 적당한 [[대수적수론|대수적수]].
  
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*  양의 정부호인 [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)|정수]][[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)|계수이차형식]] <math>Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2</math> (즉<math>a>0</math>,<math>\Delta=b^2-4ac<0</math>) 에 대하여 다음과 같이 정의<br><math>\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}</math><br>
 
  
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===특수한 경우===
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*  소수 p에 대하여, 복소이차수체 <math>F=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})</math>의 [[수체의 class number|class number]] 가 1인 경우, [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)|제1종타원적분 K]]에 대하여 다음이 성립한다
 +
:<math>\frac{2K(k)}{\pi}=\frac{2^{1/3}(kk')^{-1/6}}{\sqrt{2\pi p}}\left(\prod_{m=1}^{|d_F|}\Gamma(\frac{m}{|d_F|})^{\left(\frac{d_F}{m}\right)}\right)^{w_{F}/4}</math>
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여기서 <math>k</math>는 <math>\frac{K'}{K}(k)=\sqrt{p}</math>의 해이고, <math>k'=\sqrt{1-k^2}</math>.
  
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===예===
  
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<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">제1종 타원적분==
+
* <math>p=3</math>인 경우
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:<math>\frac{2K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)}{\pi}=\frac{2^{2/3}}{\sqrt{6\pi}}\left(\frac{\Gamma(\frac{1}{3})}{\Gamma(\frac{2}{3})}\right)^{3/2}</math>
 +
* <math>p=7</math>인 경우
 +
:<math>\frac{2K\left(\frac{1}{4} \sqrt{8-3 \sqrt{7}}\right)}{\pi}=\frac{2}{\sqrt{14\pi}}\sqrt{\frac{\Gamma(\frac{1}{7})\Gamma(\frac{2}{7})\Gamma(\frac{4}{7})}{\Gamma(\frac{3}{7})\Gamma(\frac{5}{7})\Gamma(\frac{6}{7})}}</math>
 +
  
−
* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]] 에서는 다음과 같은 경우에 대하여, 타원적분의 값을 구체적으로 얻었다<br><math>\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1</math> 이면, <math>K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots</math><br><math>\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2}</math> 이면, <math>K(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{2^{13/4}}B(\frac{1}{8},\frac{3}{8})=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\Gamma(\frac{1}{8})\Gamma(\frac{3}{8})}{2^{13/4}\sqrt{\pi}}</math><br><math>\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3}</math> 이면, <math>K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=1.5981420\cdots</math><br>
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==증명의 아이디어==
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* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]]<br><math>4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots</math><br>
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* 복소 이차 수체 <math>K</math>의 데데킨트 제타함수 <math>\zeta_K(s)</math>의 <math>s=1</math>에서의 행동을 이해하여 얻어진다
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* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]<br><math>\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=\frac{1}{3}B(\frac{1}{2},\frac{1}{3})=\frac{1}{6}B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})</math><br><math>6\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\sqrt{\pi}}=8.413\cdots</math><br>
+
* <math>d_K</math>를 나누지 않는 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)</math> 를 만족시키는 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}</math>
 +
* [[디리클레 L-함수]] <math>L(s, \chi)</math>
 +
* <math>\zeta_K(s)</math>는 다음과 같이 분해된다 ([[이차 수체의 데데킨트 제타함수]] 항목 참조)
 +
:<math>\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(s,\chi)</math>
 +
* <math>s=1</math>에서 다음이 성립한다
 +
:<math>
 +
\begin{align}
 +
\zeta(s)&=\frac{1}{s-1}+\gamma+\cdots \\
 +
L(s,\chi)&=(\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}})+\left(\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\right)(s-1)+\cdots
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
* 따라서
 +
:<math>
 +
\zeta_{K}(s)=\frac{2 \pi  h_K}{(s-1) w_K \sqrt{\left|d_K\right|}}+\frac{4 \pi  \gamma  h_K+2 \pi  \log (2 \pi ) h_K-\pi  w_K \sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})}{w_K \sqrt{\left|d_K\right|}}+O(s-1)+\cdots
 +
</math>
 +
* 한편, <math>\zeta_K(s)</math>는 부분 데데킨트 제타함수의 합으로 쓰여진다
 +
:<math>\zeta_{K}(s)=\sum_{A \in C_K}\zeta_{K}(s,A)</math>
 +
* <math>K</math>가 복소 이차 수체일 때, <math>\zeta_{K}(s,A)</math>는 [[엡슈타인 제타함수]]가 되며, <math>s=1</math>에서의 행동은 [[크로네커 극한 공식]]으로 기술할 수 있다
 +
* 이렇게 두 가지 방법으로 얻어진 <math>\zeta_{K}(s)</math>의 <math>s=1</math>에서의 로랑전개의 상수항을 비교한다
  
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==메모==
  
−
 
+
*  p-adic case Gross-Koblitz form
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*  Koyama, Shin-ya, and Nobushige Kurokawa. "Kummer's formula for multiple gamma functions." JOURNAL-RAMANUJAN MATHEMATICAL SOCIETY 18.1 (2003): 87-107. http://www.math.titech.ac.jp/~tosho/Preprints/pdf/128.pdf
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<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">Chowla-셀베르그의 정리==
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* (정리)<br><math>i\frac{K'}{K}(k)=i\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}</math> 가 <math>d_K</math>를 판별식으로 갖는 복소이차수체 <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{d_K})</math>의 원소일 때, [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)|제1종타원적분 K]]에 대하여 다음이 성립한다.<br><math>{K}(k)=\lambda\sqrt{\pi}\{\prod_{m=1}^{|d_K|}\Gamma(\frac{m}{|d_K|})^{\left(\frac{d_K}{m}\right)}\}^{w_{K}/{4h_{K}}}</math> 여기서 <math>\lambda</math>는 적당한 [[대수적수론|대수적수]].<br>
+
==관련된 항목들==
 +
* [[디리클레 L-함수의 미분]]
 +
* [[데데킨트 에타함수]]
 +
* [[엡슈타인 제타함수]]
 +
* [[크로네커 극한 공식]]
 +
* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]
 +
* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분]]
 +
* [[무리수와 초월수]]
 +
* [[주기 (period)]]
  
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxLTdHdTJyMkhwUGc/edit
  
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<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">Chowla-셀베르그의 정리의 특수한 경우==
 
  
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*  소수 p에 대하여, 복소이차수체 <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})</math>의 [[수체의 class number|class number]] 가 1인 경우, [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)|제1종타원적분 K]]에 대하여 다음이 성립한다.<br>
 
−
* <math>\frac{K'}{K}(k)=\sqrt{p}</math> 를 만족시키는 k를 찾자.<br><math>\frac{K(k)}{2\pi}=\frac{2^{1/3}(kk')^{-1/6}}{\sqrt{2\pi p}}\{\prod_{m=1}^{|d_K|}\Gamma(\frac{m}{|d_K|})^{\left(\frac{d_K}{m}\right)}\}^{w_{K}}</math><br>
 
−
* <math>p=3</math>인 경우<br><math>\frac{K}{2\pi}=\frac{2^{2/3}}{\sqrt{6\pi}}(\frac{\Gamma(\frac{1}{3})}{\Gamma(\frac{2}{3})})^{3/2}</math><br>
 
−
* <math>p=7</math>인 경우<br><math>\frac{K}{2\pi}=\frac{2}{\sqrt{14\pi}}\sqrt{\frac{\Gamma(\frac{1}{7})\Gamma(\frac{2}{7})\Gamma(\frac{4}{7})}{\Gamma(\frac{3}{7})\Gamma(\frac{5}{7})\Gamma(\frac{6}{7})}}</math><br>
 
  
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==사전 형태의 자료==
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사==
 
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">메모==
 
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*  p-adic case Gross-Koblitz form<br>
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들==
 
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−
* [[데데킨트 에타함수]]<br>
 
−
* [[Epstein 제타함수와 크로네커 극한 공식]]<br>
 
−
* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]<br>
 
−
* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분]]<br>
 
−
* [[감마함수]]<br>
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역==
 
−
 
 
−
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료==
 
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Chowla-Selberg_formula
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Chowla-Selberg_formula
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Sarvadaman_Chowla
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Sarvadaman_Chowla
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
−
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
−
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
  
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
−
 
+
* Elizalde, [http://benasque.org/2012msqs/talks_contr/111_Elizalde.pdf Chowla-Selberg and other formulas useful for zeta regularization]
−
 
+
* http://mathoverflow.net/questions/87551/can-elliptic-integral-singular-values-generate-cubic-polynomials-with-integer-co
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문==
+
* [http://dx.doi.org/10.1090%2FS0273-0979-08-01223-8 The lord of the numbers, Atle Selberg. On his life and mathematics]
−
 
+
** Baas, Nils A.; Skau, Christian F. (2008), Bull. Amer. Math. Soc. 45: 617–649,
−
* [http://dx.doi.org/10.1090%2FS0273-0979-08-01223-8 The lord of the numbers, Atle Selberg. On his life and mathematics]<br>
 
−
** Baas, Nils A.; Skau, Christian F. (2008), Bull. Amer. Math. Soc. 45: 617–649,
 
 
** Interview with Selberg
 
** Interview with Selberg
−
* [http://dx.doi.org/10.1007/BF01390273 On the periods of abelian integrals and a formula of Chowla and Selberg]<br>
 
−
** Benedict H. Gross, Inventiones Mathematicae, Volume 45, Number 2 / 1978년 6월
 
−
* [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0227&DMDID=dmdlog8 On Epstein's Zeta-function]<br>
 
−
** S. Chowla; A. Selberg, J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967
 
−
* [http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1063041/ On Epstein's Zeta Function (I)]<br>
 
−
** S. Chowla and A. Selberg Proc Natl Acad Sci U S A. 1949 July; 35(7): 371–374
 
−
* [http://www.jstor.org/stable/1968602 On Epstein's Zeta Function]<br>
 
−
** Max F. Deuring, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 38, No. 3 (Jul., 1937), pp. 585-593
 
−
 
−
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
−
* http://dx.doi.org/
 
−
 
−
 
 
  
−
 
+
==관련논문==
 +
* Yang, Yifan. ‘Special Values of Hypergeometric Functions and Periods of CM Elliptic Curves’. arXiv:1503.07971 [math], 27 March 2015. http://arxiv.org/abs/1503.07971.
 +
* Obus, Andrew. 2013. “On Colmez’s Product Formula for Periods of CM-Abelian Varieties.” Mathematische Annalen 356 (2): 401–18. doi:10.1007/s00208-012-0855-4.
 +
* Yang, T. (2010). The Chowla-Selberg formula and the Colmez conjecture. Canad. J. Math, 62(2), 456-472. http://www.math.wisc.edu/~thyang/ColmezConjectureFinal2010.pdf
 +
* Muzaffar, Habib, and Kenneth S. Williams. [http://journal.taiwanmathsoc.org.tw/index.php/TJM/article/viewFile/977/818 Evaluation of complete elliptic integrals of the first kind at singular moduli] Taiwanese Journal of Mathematics 10, no. 6 (2006): pp-1633.
 +
* Van der Poorten, Alfred, and Kenneth S. Williams. 1999. “Values of the Dedekind Eta Function at Quadratic Irrationalities.” Canadian Journal of Mathematics. Journal Canadien de Mathématiques 51 (1): 176–224. doi:10.4153/CJM-1999-011-1.
 +
* Anderson, G. W. (1982). [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/CM/CM_1982__45_3/CM_1982__45_3_315_0/CM_1982__45_3_315_0.pdf Logarithmic derivatives of Dirichlet <math> L </math>-functions and the periods of abelian varieties]. Compositio Mathematica, 45(3), 315-332.
 +
* Benedict H. Gross [http://dx.doi.org/10.1007/BF01390273 On the periods of abelian integrals and a formula of Chowla and Selberg], Inventiones Mathematicae, Volume 45, Number 2 / 1978년 6월
 +
* S. Chowla; A. Selberg, [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0227&DMDID=dmdlog8 On Epstein's Zeta-function], J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967
 +
* S. Chowla and A. Selberg [http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1063041/ On Epstein's Zeta Function (I)] Proc Natl Acad Sci U S A. 1949 July; 35(7): 371–374
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* Max F. Deuring [http://www.jstor.org/stable/1968602 On Epstein's Zeta Function], The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 38, No. 3 (Jul., 1937), pp. 585-593
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* M. Lerch, Sur quelques formules relatives du nombre des classes , Bull. Sci.Math. 21 (1897) 290-304
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서==
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==관련도서==
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* [http://books.google.com/books?id=voR95sDdb_MC Elliptic Functions According to Eisenstein and Kronecker] A.Weil, Springer, 1998
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[[분류:타원적분]]
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[[분류:정수론]]
  
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* [http://books.google.com/books?id=voR95sDdb_MC Elliptic Functions According to Eisenstein and Kronecker] A.Weil, Springer, 1998<br>
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q3077611 Q3077611]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'chowla'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'selberg'}, {'LEMMA': 'formula'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:47 기준 최신판

개요


엡슈타인 제타함수

\[\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}\]



제1종 타원적분

\[\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1 \Rightarrow K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots\] \[\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2} \Rightarrow K(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{2^{13/4}}B(\frac{1}{8},\frac{3}{8})=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\Gamma(\frac{1}{8})\Gamma(\frac{3}{8})}{2^{13/4}\sqrt{\pi}}\] \[\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3} \Rightarrow K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=1.5981420\cdots\]

  • lemniscate 곡선의 길이와 타원적분\[4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots\]
  • 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)\[\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=\frac{1}{3}B(\frac{1}{2},\frac{1}{3})=\frac{1}{6}B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})\]\[6\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\sqrt{\pi}}=8.413\cdots\]



Chowla-셀베르그의 정리

정리

\(k\)에 대하여, 다음의 값 \[i\frac{K'}{K}(k):=i\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}\] 이 \(d_F\)를 판별식으로 갖는 복소이차수체 \(F=\mathbb{Q}(\sqrt{d_F})\)의 원소일 때, 제1종타원적분 K에 대하여 다음이 성립한다 \[{K}(k)=\lambda\sqrt{\pi}\left(\prod_{m=1}^{|d_F|}\Gamma(\frac{m}{|d_F|})^{\left(\frac{d_F}{m}\right)}\right)^{\frac{w_{F}}{4h_{F}}}\] 여기서 \(\lambda\)는 적당한 대수적수.


특수한 경우

\[\frac{2K(k)}{\pi}=\frac{2^{1/3}(kk')^{-1/6}}{\sqrt{2\pi p}}\left(\prod_{m=1}^{|d_F|}\Gamma(\frac{m}{|d_F|})^{\left(\frac{d_F}{m}\right)}\right)^{w_{F}/4}\] 여기서 \(k\)는 \(\frac{K'}{K}(k)=\sqrt{p}\)의 해이고, \(k'=\sqrt{1-k^2}\).

예

  • \(p=3\)인 경우

\[\frac{2K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)}{\pi}=\frac{2^{2/3}}{\sqrt{6\pi}}\left(\frac{\Gamma(\frac{1}{3})}{\Gamma(\frac{2}{3})}\right)^{3/2}\]

  • \(p=7\)인 경우

\[\frac{2K\left(\frac{1}{4} \sqrt{8-3 \sqrt{7}}\right)}{\pi}=\frac{2}{\sqrt{14\pi}}\sqrt{\frac{\Gamma(\frac{1}{7})\Gamma(\frac{2}{7})\Gamma(\frac{4}{7})}{\Gamma(\frac{3}{7})\Gamma(\frac{5}{7})\Gamma(\frac{6}{7})}}\]


증명의 아이디어

  • 복소 이차 수체 \(K\)의 데데킨트 제타함수 \(\zeta_K(s)\)의 \(s=1\)에서의 행동을 이해하여 얻어진다
  • \(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시키는 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}\)
  • 디리클레 L-함수 \(L(s, \chi)\)
  • \(\zeta_K(s)\)는 다음과 같이 분해된다 (이차 수체의 데데킨트 제타함수 항목 참조)

\[\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(s,\chi)\]

  • \(s=1\)에서 다음이 성립한다

\[ \begin{align} \zeta(s)&=\frac{1}{s-1}+\gamma+\cdots \\ L(s,\chi)&=(\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}})+\left(\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\right)(s-1)+\cdots \end{align} \]

  • 따라서

\[ \zeta_{K}(s)=\frac{2 \pi h_K}{(s-1) w_K \sqrt{\left|d_K\right|}}+\frac{4 \pi \gamma h_K+2 \pi \log (2 \pi ) h_K-\pi w_K \sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})}{w_K \sqrt{\left|d_K\right|}}+O(s-1)+\cdots \]

  • 한편, \(\zeta_K(s)\)는 부분 데데킨트 제타함수의 합으로 쓰여진다

\[\zeta_{K}(s)=\sum_{A \in C_K}\zeta_{K}(s,A)\]

  • \(K\)가 복소 이차 수체일 때, \(\zeta_{K}(s,A)\)는 엡슈타인 제타함수가 되며, \(s=1\)에서의 행동은 크로네커 극한 공식으로 기술할 수 있다
  • 이렇게 두 가지 방법으로 얻어진 \(\zeta_{K}(s)\)의 \(s=1\)에서의 로랑전개의 상수항을 비교한다

메모



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

관련논문

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Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'chowla'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'selberg'}, {'LEMMA': 'formula'}]
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