"Chowla-셀베르그 공식"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
 
==개요==
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* 복소이차수체 $F$에 대하여, $\mathcal{O}_{F}$에 의한 [[Complex multiplication]]을 갖는 [[타원곡선의 주기]]를 [[감마함수]]의 값을 이용하여 표현
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* 복소이차수체 <math>F</math>에 대하여, <math>\mathcal{O}_{F}</math>에 의한 [[Complex multiplication]]을 갖는 [[타원곡선의 주기]]를 [[감마함수]]의 값을 이용하여 표현
 
* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]의 어떤 값을 감마함수로 표현하는 공식으로 나타난다
 
* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]의 어떤 값을 감마함수로 표현하는 공식으로 나타난다
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* [[Epstein 제타함수]]에 대한 공식
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* [[엡슈타인 제타함수]]에 대한 공식
 
* CM 아벨 다양체의 [[주기 (period)]]에 대한 문제로 일반화
 
* CM 아벨 다양체의 [[주기 (period)]]에 대한 문제로 일반화
  
  
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==Epstein 제타함수==
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==엡슈타인 제타함수==
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* [[Epstein 제타함수]]
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* 양의 정부호인 [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]] <math>Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2</math> (즉<math>a>0</math>,<math>\Delta=b^2-4ac<0</math>) 에 대하여 [[엡슈타인 제타함수]] <math>\zeta_Q</math>를 다음과 같이 정의
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* 양의 정부호인 [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]] <math>Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2</math> (즉<math>a>0</math>,<math>\Delta=b^2-4ac<0</math>) 에 대하여 다음과 같이 정의
 
 
:<math>\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}</math>
 
:<math>\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}</math>
  
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==Chowla-셀베르그의 정리==
 
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;정리
 
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$k$에 대하여, 다음의 값  
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:<math>i\frac{K'}{K}(k):=i\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}</math> 이 <math>d_F</math>를 판별식으로 갖는 복소이차수체 <math>F=\mathbb{Q}(\sqrt{d_F})</math>의 원소일 때, [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)|제1종타원적분 K]]에 대하여 다음이 성립한다
 
:<math>i\frac{K'}{K}(k):=i\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}</math> 이 <math>d_F</math>를 판별식으로 갖는 복소이차수체 <math>F=\mathbb{Q}(\sqrt{d_F})</math>의 원소일 때, [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)|제1종타원적분 K]]에 대하여 다음이 성립한다
 
:<math>{K}(k)=\lambda\sqrt{\pi}\left(\prod_{m=1}^{|d_F|}\Gamma(\frac{m}{|d_F|})^{\left(\frac{d_F}{m}\right)}\right)^{\frac{w_{F}}{4h_{F}}}</math> 여기서 <math>\lambda</math>는 적당한 [[대수적수론|대수적수]].
 
:<math>{K}(k)=\lambda\sqrt{\pi}\left(\prod_{m=1}^{|d_F|}\Gamma(\frac{m}{|d_F|})^{\left(\frac{d_F}{m}\right)}\right)^{\frac{w_{F}}{4h_{F}}}</math> 여기서 <math>\lambda</math>는 적당한 [[대수적수론|대수적수]].
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*  소수 p에 대하여, 복소이차수체 <math>F=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})</math>의 [[수체의 class number|class number]] 가 1인 경우, [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)|제1종타원적분 K]]에 대하여 다음이 성립한다
 
*  소수 p에 대하여, 복소이차수체 <math>F=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})</math>의 [[수체의 class number|class number]] 가 1인 경우, [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)|제1종타원적분 K]]에 대하여 다음이 성립한다
 
:<math>\frac{2K(k)}{\pi}=\frac{2^{1/3}(kk')^{-1/6}}{\sqrt{2\pi p}}\left(\prod_{m=1}^{|d_F|}\Gamma(\frac{m}{|d_F|})^{\left(\frac{d_F}{m}\right)}\right)^{w_{F}/4}</math>
 
:<math>\frac{2K(k)}{\pi}=\frac{2^{1/3}(kk')^{-1/6}}{\sqrt{2\pi p}}\left(\prod_{m=1}^{|d_F|}\Gamma(\frac{m}{|d_F|})^{\left(\frac{d_F}{m}\right)}\right)^{w_{F}/4}</math>
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여기서 $k$는 <math>\frac{K'}{K}(k)=\sqrt{p}</math>의 해이고, $k'=\sqrt{1-k^2}$.
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===예===
 
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==증명의 아이디어==
 
==증명의 아이디어==
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* 복소 이차 수체 $K$의 데데킨트 제타함수 $\zeta_K(s)$의 $s=1$에서의 행동을 이해하여 얻어진다
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* 복소 이차 수체 <math>K</math>의 데데킨트 제타함수 <math>\zeta_K(s)</math>의 <math>s=1</math>에서의 행동을 이해하여 얻어진다
 
* <math>d_K</math>를 나누지 않는 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)</math> 를 만족시키는 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}</math>
 
* <math>d_K</math>를 나누지 않는 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)</math> 를 만족시키는 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}</math>
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* [[디리클레 L-함수]] $L(s, \chi)$
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* [[디리클레 L-함수]] <math>L(s, \chi)</math>
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* $\zeta_K(s)$는 다음과 같이 분해된다
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* <math>\zeta_K(s)</math>는 다음과 같이 분해된다 ([[이차 수체의 데데킨트 제타함수]] 항목 참조)
 
:<math>\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(s,\chi)</math>
 
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* $s=1$에서 다음이 성립한다
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\zeta(s)&=\frac{1}{s-1}+\gamma+\cdots \\
 
\zeta(s)&=\frac{1}{s-1}+\gamma+\cdots \\
 
L(s,\chi)&=(\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}})+\left(\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\right)(s-1)+\cdots
 
L(s,\chi)&=(\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}})+\left(\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\right)(s-1)+\cdots
 
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* 따라서  
 
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\zeta_{K}(s)=\frac{2 \pi  h_K}{(s-1) w_K \sqrt{\left|d_K\right|}}+\frac{4 \pi  \gamma  h_K+2 \pi  \log (2 \pi ) h_K-\pi  w_K \sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})}{w_K \sqrt{\left|d_K\right|}}+O(s-1)+\cdots
 
\zeta_{K}(s)=\frac{2 \pi  h_K}{(s-1) w_K \sqrt{\left|d_K\right|}}+\frac{4 \pi  \gamma  h_K+2 \pi  \log (2 \pi ) h_K-\pi  w_K \sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})}{w_K \sqrt{\left|d_K\right|}}+O(s-1)+\cdots
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* 한편, $\zeta_K(s)$는 부분 데데킨트 제타함수의 합으로 쓰여진다
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* 한편, <math>\zeta_K(s)</math>는 부분 데데킨트 제타함수의 합으로 쓰여진다
 
:<math>\zeta_{K}(s)=\sum_{A \in C_K}\zeta_{K}(s,A)</math>
 
:<math>\zeta_{K}(s)=\sum_{A \in C_K}\zeta_{K}(s,A)</math>
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* $K$가 복소 이차 수체일 때, $\zeta_{K}(s,A)$는 [[엡슈타인 제타함수]]가 되며, $s=1$에서의 행동은 [[크로네커 극한 공식]]으로 기술할 수 있다
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* <math>K</math>가 복소 이차 수체일 때, <math>\zeta_{K}(s,A)</math>는 [[엡슈타인 제타함수]]가 되며, <math>s=1</math>에서의 행동은 [[크로네커 극한 공식]]으로 기술할 수 있다
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* 이렇게 두 가지 방법으로 얻어진 $\zeta_{K}(s)$의 $s=1$에서의 로랑전개의 상수항을 비교한다
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* 이렇게 두 가지 방법으로 얻어진 <math>\zeta_{K}(s)</math>의 <math>s=1</math>에서의 로랑전개의 상수항을 비교한다
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==메모==
 
==메모==
  
 
*  p-adic case Gross-Koblitz form
 
*  p-adic case Gross-Koblitz form
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*  Koyama, Shin-ya, and Nobushige Kurokawa. "Kummer's formula for multiple gamma functions." JOURNAL-RAMANUJAN MATHEMATICAL SOCIETY 18.1 (2003): 87-107. http://www.math.titech.ac.jp/~tosho/Preprints/pdf/128.pdf
 
   
 
   
  
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* [[디리클레 L-함수의 미분]]
 
* [[디리클레 L-함수의 미분]]
 
* [[데데킨트 에타함수]]
 
* [[데데킨트 에타함수]]
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* [[Epstein 제타함수]]
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* [[엡슈타인 제타함수]]
 
* [[크로네커 극한 공식]]
 
* [[크로네커 극한 공식]]
 
* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]
 
* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
 
==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* Elizalde, [http://benasque.org/2012msqs/talks_contr/111_Elizalde.pdf Chowla-Selberg and other formulas useful for zeta regularization]
 
* http://mathoverflow.net/questions/87551/can-elliptic-integral-singular-values-generate-cubic-polynomials-with-integer-co
 
* http://mathoverflow.net/questions/87551/can-elliptic-integral-singular-values-generate-cubic-polynomials-with-integer-co
 
* [http://dx.doi.org/10.1090%2FS0273-0979-08-01223-8 The lord of the numbers, Atle Selberg. On his life and mathematics]
 
* [http://dx.doi.org/10.1090%2FS0273-0979-08-01223-8 The lord of the numbers, Atle Selberg. On his life and mathematics]
 
** Baas, Nils A.; Skau, Christian F. (2008), Bull. Amer. Math. Soc. 45: 617–649,
 
** Baas, Nils A.; Skau, Christian F. (2008), Bull. Amer. Math. Soc. 45: 617–649,
 
** Interview with Selberg
 
** Interview with Selberg
−
 
  
 
==관련논문==
 
==관련논문==
 +
* Yang, Yifan. ‘Special Values of Hypergeometric Functions and Periods of CM Elliptic Curves’. arXiv:1503.07971 [math], 27 March 2015. http://arxiv.org/abs/1503.07971.
 
* Obus, Andrew. 2013. “On Colmez’s Product Formula for Periods of CM-Abelian Varieties.” Mathematische Annalen 356 (2): 401–18. doi:10.1007/s00208-012-0855-4.
 
* Obus, Andrew. 2013. “On Colmez’s Product Formula for Periods of CM-Abelian Varieties.” Mathematische Annalen 356 (2): 401–18. doi:10.1007/s00208-012-0855-4.
 
* Yang, T. (2010). The Chowla-Selberg formula and the Colmez conjecture. Canad. J. Math, 62(2), 456-472. http://www.math.wisc.edu/~thyang/ColmezConjectureFinal2010.pdf
 
* Yang, T. (2010). The Chowla-Selberg formula and the Colmez conjecture. Canad. J. Math, 62(2), 456-472. http://www.math.wisc.edu/~thyang/ColmezConjectureFinal2010.pdf
 
* Muzaffar, Habib, and Kenneth S. Williams. [http://journal.taiwanmathsoc.org.tw/index.php/TJM/article/viewFile/977/818 Evaluation of complete elliptic integrals of the first kind at singular moduli] Taiwanese Journal of Mathematics 10, no. 6 (2006): pp-1633.
 
* Muzaffar, Habib, and Kenneth S. Williams. [http://journal.taiwanmathsoc.org.tw/index.php/TJM/article/viewFile/977/818 Evaluation of complete elliptic integrals of the first kind at singular moduli] Taiwanese Journal of Mathematics 10, no. 6 (2006): pp-1633.
 
* Van der Poorten, Alfred, and Kenneth S. Williams. 1999. “Values of the Dedekind Eta Function at Quadratic Irrationalities.” Canadian Journal of Mathematics. Journal Canadien de Mathématiques 51 (1): 176–224. doi:10.4153/CJM-1999-011-1.
 
* Van der Poorten, Alfred, and Kenneth S. Williams. 1999. “Values of the Dedekind Eta Function at Quadratic Irrationalities.” Canadian Journal of Mathematics. Journal Canadien de Mathématiques 51 (1): 176–224. doi:10.4153/CJM-1999-011-1.
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* Anderson, G. W. (1982). [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/CM/CM_1982__45_3/CM_1982__45_3_315_0/CM_1982__45_3_315_0.pdf Logarithmic derivatives of Dirichlet $ L $-functions and the periods of abelian varieties]. Compositio Mathematica, 45(3), 315-332.
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* Anderson, G. W. (1982). [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/CM/CM_1982__45_3/CM_1982__45_3_315_0/CM_1982__45_3_315_0.pdf Logarithmic derivatives of Dirichlet <math> L </math>-functions and the periods of abelian varieties]. Compositio Mathematica, 45(3), 315-332.
 
* Benedict H. Gross [http://dx.doi.org/10.1007/BF01390273 On the periods of abelian integrals and a formula of Chowla and Selberg], Inventiones Mathematicae, Volume 45, Number 2 / 1978년 6월
 
* Benedict H. Gross [http://dx.doi.org/10.1007/BF01390273 On the periods of abelian integrals and a formula of Chowla and Selberg], Inventiones Mathematicae, Volume 45, Number 2 / 1978년 6월
 
* S. Chowla; A. Selberg, [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0227&DMDID=dmdlog8 On Epstein's Zeta-function], J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967
 
* S. Chowla; A. Selberg, [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0227&DMDID=dmdlog8 On Epstein's Zeta-function], J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967
 
* S. Chowla and A. Selberg [http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1063041/ On Epstein's Zeta Function (I)] Proc Natl Acad Sci U S A. 1949 July; 35(7): 371–374
 
* S. Chowla and A. Selberg [http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1063041/ On Epstein's Zeta Function (I)] Proc Natl Acad Sci U S A. 1949 July; 35(7): 371–374
 
* Max F. Deuring [http://www.jstor.org/stable/1968602 On Epstein's Zeta Function], The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 38, No. 3 (Jul., 1937), pp. 585-593
 
* Max F. Deuring [http://www.jstor.org/stable/1968602 On Epstein's Zeta Function], The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 38, No. 3 (Jul., 1937), pp. 585-593
−
 
+
* M. Lerch, Sur quelques formules relatives du nombre des classes , Bull. Sci.Math. 21 (1897) 290-304
  
 
==관련도서==
 
==관련도서==
 
* [http://books.google.com/books?id=voR95sDdb_MC Elliptic Functions According to Eisenstein and Kronecker] A.Weil, Springer, 1998
 
* [http://books.google.com/books?id=voR95sDdb_MC Elliptic Functions According to Eisenstein and Kronecker] A.Weil, Springer, 1998
 
[[분류:타원적분]]
 
[[분류:타원적분]]
 +
[[분류:정수론]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q3077611 Q3077611]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'chowla'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'selberg'}, {'LEMMA': 'formula'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:47 기준 최신판

개요


엡슈타인 제타함수

\[\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}\]



제1종 타원적분

\[\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1 \Rightarrow K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots\] \[\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2} \Rightarrow K(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{2^{13/4}}B(\frac{1}{8},\frac{3}{8})=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\Gamma(\frac{1}{8})\Gamma(\frac{3}{8})}{2^{13/4}\sqrt{\pi}}\] \[\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3} \Rightarrow K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=1.5981420\cdots\]

  • lemniscate 곡선의 길이와 타원적분\[4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots\]
  • 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)\[\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=\frac{1}{3}B(\frac{1}{2},\frac{1}{3})=\frac{1}{6}B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})\]\[6\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\sqrt{\pi}}=8.413\cdots\]



Chowla-셀베르그의 정리

정리

\(k\)에 대하여, 다음의 값 \[i\frac{K'}{K}(k):=i\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}\] 이 \(d_F\)를 판별식으로 갖는 복소이차수체 \(F=\mathbb{Q}(\sqrt{d_F})\)의 원소일 때, 제1종타원적분 K에 대하여 다음이 성립한다 \[{K}(k)=\lambda\sqrt{\pi}\left(\prod_{m=1}^{|d_F|}\Gamma(\frac{m}{|d_F|})^{\left(\frac{d_F}{m}\right)}\right)^{\frac{w_{F}}{4h_{F}}}\] 여기서 \(\lambda\)는 적당한 대수적수.


특수한 경우

\[\frac{2K(k)}{\pi}=\frac{2^{1/3}(kk')^{-1/6}}{\sqrt{2\pi p}}\left(\prod_{m=1}^{|d_F|}\Gamma(\frac{m}{|d_F|})^{\left(\frac{d_F}{m}\right)}\right)^{w_{F}/4}\] 여기서 \(k\)는 \(\frac{K'}{K}(k)=\sqrt{p}\)의 해이고, \(k'=\sqrt{1-k^2}\).

예

  • \(p=3\)인 경우

\[\frac{2K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)}{\pi}=\frac{2^{2/3}}{\sqrt{6\pi}}\left(\frac{\Gamma(\frac{1}{3})}{\Gamma(\frac{2}{3})}\right)^{3/2}\]

  • \(p=7\)인 경우

\[\frac{2K\left(\frac{1}{4} \sqrt{8-3 \sqrt{7}}\right)}{\pi}=\frac{2}{\sqrt{14\pi}}\sqrt{\frac{\Gamma(\frac{1}{7})\Gamma(\frac{2}{7})\Gamma(\frac{4}{7})}{\Gamma(\frac{3}{7})\Gamma(\frac{5}{7})\Gamma(\frac{6}{7})}}\]


증명의 아이디어

  • 복소 이차 수체 \(K\)의 데데킨트 제타함수 \(\zeta_K(s)\)의 \(s=1\)에서의 행동을 이해하여 얻어진다
  • \(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시키는 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}\)
  • 디리클레 L-함수 \(L(s, \chi)\)
  • \(\zeta_K(s)\)는 다음과 같이 분해된다 (이차 수체의 데데킨트 제타함수 항목 참조)

\[\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(s,\chi)\]

  • \(s=1\)에서 다음이 성립한다

\[ \begin{align} \zeta(s)&=\frac{1}{s-1}+\gamma+\cdots \\ L(s,\chi)&=(\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}})+\left(\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\right)(s-1)+\cdots \end{align} \]

  • 따라서

\[ \zeta_{K}(s)=\frac{2 \pi h_K}{(s-1) w_K \sqrt{\left|d_K\right|}}+\frac{4 \pi \gamma h_K+2 \pi \log (2 \pi ) h_K-\pi w_K \sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})}{w_K \sqrt{\left|d_K\right|}}+O(s-1)+\cdots \]

  • 한편, \(\zeta_K(s)\)는 부분 데데킨트 제타함수의 합으로 쓰여진다

\[\zeta_{K}(s)=\sum_{A \in C_K}\zeta_{K}(s,A)\]

  • \(K\)가 복소 이차 수체일 때, \(\zeta_{K}(s,A)\)는 엡슈타인 제타함수가 되며, \(s=1\)에서의 행동은 크로네커 극한 공식으로 기술할 수 있다
  • 이렇게 두 가지 방법으로 얻어진 \(\zeta_{K}(s)\)의 \(s=1\)에서의 로랑전개의 상수항을 비교한다

메모



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

관련논문

관련도서

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'chowla'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'selberg'}, {'LEMMA': 'formula'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=Chowla-셀베르그_공식&oldid=52121"