Chowla-셀베르그 공식
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개요
Epstein 제타함수
-
양의 정부호인 정수계수이차형식 \(Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2\) (즉\(a>0\),\(\Delta=b^2-4ac<0\)) 에 대하여 다음과 같은 함수를 정의
\(\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}\)
제1종 타원적분
- 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)이 다음을 만족시킨다고 하자.
\(\frac{K'}{K}(k):=\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}= \sqrt n \) - 오일러 베타적분에서 얻어진 공식을 이용하자
\(\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^n}}=\frac{1}{n}B(\frac{1}{2},\frac{1}{n})\) (여기서 \(n>0\))
- lemniscate 곡선의 길이와 타원적분
\(4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots\) - 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
\(\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=\frac{1}{3}B(\frac{1}{2},\frac{1}{3})=\frac{1}{6}B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})\)
\(6\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\sqrt{\pi}}=8.413\cdots\)
Chowla-셀베르그의 정리
- (정리)
\(i\frac{K'}{K}(k)=i\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}\) 가 \(d_K\)를 판별식으로 갖는 복소이차수체 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{d_K})\)의 원소일 때, 다음이 성립한다.
\({K}(k)=\lambda\sqrt{\pi}\{\prod_{m=1}^{|d_K|}\Gamma(\frac{m}{|d_K|})^{\left(\frac{d_K}{p}\right)}\}^{w/{4h}}\)
디리클레 L-함수의 미분
- \(d_K\)를 판별식으로 갖는 복소이차수체 \(K\)에 대하여, 디리클레 L-함수는 다음을 만족시킴
\(L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\)
예
- 디리클레 베타함수
\(K=\mathbb{Q}(i)\)
\(\beta'(1)=L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})\) - \(K=\mathbb{Q}(\omega)\), \(\omega^2+\omega+1=0\)
\(L_{-3}'(1)=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{\sqrt{3}}\ln(\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(2/3)})\)
재미있는 사실
역사
메모
관련된 항목들
- 데데킨트 에타함수
- Epstein 제타함수와 크로네커 극한 공식
- 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
- 렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분
- 감마함수
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Chowla-Selberg_formula
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- The lord of the numbers, Atle Selberg. On his life and mathematics
- Baas, Nils A.; Skau, Christian F. (2008), Bull. Amer. Math. Soc. 45: 617–649,
- Interview with Selberg
- On the periods of abelian integrals and a formula of Chowla and Selberg
- Benedict H. Gross, Inventiones Mathematicae, Volume 45, Number 2 / 1978년 6월
- On Epstein's Zeta-function
- S. Chowla; A. Selberg, J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967
- On Epstein's Zeta Function (I)
- S. Chowla and A. Selberg Proc Natl Acad Sci U S A. 1949 July; 35(7): 371–374
- On Epstein's Zeta Function
- Max F. Deuring, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 38, No. 3 (Jul., 1937), pp. 585-593
관련도서 및 추천도서
- Elliptic Functions According to Eisenstein and Kronecker
- A.Weil, Springer, 1998
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관련기사
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