Complex multiplication

개요

두 복소수 \(\omega_1,\omega_2\)에 의해 생성되는 2차원 격자\[\Lambda=\{m_ 1\omega_1+m_ 2\omega_2)|m_ 1,m_ 2\in\mathbb{Z}\}\]
격자로부터 타원곡선 \(E=\mathbb{C}/\Lambda\)를 얻는다

두 타원곡선 사이에 정의된 타원곡선의 항등원을 보존하는 유리함수 \(\phi : E_ 1 \to E_ 2\)를 isogeny 라 한다
타원곡선이 \(E=\mathbb{C}/\Lambda\)로 주어지는 경우 모든 isogeny \(\phi : E \to E\) 의 집합 \(\text{End}({E})\) 는 환의 구조를 가지며,\(\text{End}({E})\simeq \{\alpha\in \mathbb{C}|\alpha\Lambda \subset \Lambda\}\)가 성립한다

타원곡선 \(E=\mathbb{C}/\Lambda\), \(\Lambda=\{m_ 1+m_ 2\tau)|m_ 1,m_ 2\in\mathbb{Z}\}\) 가 주어졌다고 하자
- 여기서 \(\Im\tau >0\)를 가정
\(\alpha\in\mathbb{Z}\)에 대하여, \(\alpha\tau \in\Lambda\) 이므로 \(\mathbb{Z}\subset \operatorname{End}({E})\) 가 성립한다
일반적인 타원곡선의 경우, \(\operatorname{End}({E})=\mathbb{Z}\) 가 성립한다
\(\operatorname{End}({E})\neq \mathbb{Z}\)인 경우, 즉 \(\operatorname{End}({E})\)가 \(\mathbb{Z}\)를 진부분집합으로 포함하는 경우, 타원곡선 \(E\)가 complex multiplication을 갖는다고 말한다
\(E=\mathbb{C}/\Lambda\), \(\Lambda=\{m_ 1+m_ 2\tau)|m_ 1,m_ 2\in\mathbb{Z}\}\)에 대해서 \(E\)가 complex multiplication을 갖는다고 가정하자\[\alpha\in\operatorname{End}({E})-\mathbb{Z}\]가 존재하여, \(\alpha\cdot 1 \in\Lambda\)이므로, \(\alpha=m+n\tau\) (\(n \neq 0 \))꼴로 쓰여진다
한편 \(\alpha\tau \in\Lambda\)가 성립하므로, \(\alpha\tau=(m+n\tau)\tau=p+q\tau\) 꼴로 쓰여지게 된다. 여기서 \(m, n, p, q\)는 모두 정수.
따라서 \(n\tau^2-(m-q)\tau-p=0\)이 만족된다.
그러므로, 타원곡선 \(E\)가 complex multiplication을 가질 경우, \(\tau\) 는 정수계수 이차방정식을 만족시키는 복소수가 된다

Masahito, Takase. ‘Three Aspects of the Theory of Complex Multiplication’. In The Intersection of History and Mathematics, edited by Professor Ch Sasaki, Professor M. Sugiura, and Professor J. W. Dauben, 91–108. Science Networks · Historical Studies 15. Birkhäuser Basel, 1994. http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-0348-7521-9_7.