I^i 는 무엇일까?

수학노트
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개요

  • \(i^{i}\)의 값은 하나로 결정되는 것이 아니라, 무한히 많다. 이는 복소로그함수 가 무한히 많은 값을 갖기 때문이다.
  • \(i^{i}=\cdots,e^{-\frac{5\pi}{2}},e^{-\frac{\pi}{2}},e^{\frac{3\pi}{2}},\cdots\)
  • 주치(principal value)는 \(e^{-\frac{\pi}{2}}\)로 주어진다.



복소거듭제곱

대학교 학부과정의 복소함수론에서는 복소수의 복소수 거듭제곱을 다음과 같이 정의한다.

두 복소수 \(z,\alpha\)에 대하여,\(z^{\alpha}:=e^{\alpha \log z}\). 여기서 \(\log z\)는 복소로그함수.

(이 정의에서는 복소지수함수 (오일러의 공식 참조)와 복소로그함수 가 사용되었다. )


복소로그함수에 대하여, 잠시 복습을 하자. 복소로그함수는 복소수 \(z = re^{i\theta}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의된다

\(\log z = \ln|z| + i\arg(z) = \ln(r) + i\left(\theta + 2 \pi k \right)\). 여기서 \(k\in\mathbb{Z}\).

예를 들어보자면,

\(\log 1 = \ln|1| + i\arg(1) = \ln(1) + i\left(0 + 2 \pi k \right) =\cdots, -6\pi i,-4\pi i,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,6\pi i, \cdots\)




i^i의 계산

\(i^{i}=e^{i \log i}\) 이므로 먼저 \(\log i\)를 계산하자.

\(\log i = \ln|i| + i\arg(i) = i\left(\frac{\pi}{2} + 2 \pi k \right) =\cdots, ,\frac{\pi}{2}i-4\pi i,\frac{\pi}{2}i-2\pi i,\frac{\pi}{2}i,\frac{\pi}{2}i+2\pi i,\frac{\pi}{2}i+4\pi i,\cdots\)


이제 정의와 위의 결과를 활용하여,

\(i^{i}=e^{i \log i}=e^{i(\frac{\pi}{2}+2k\pi)i}=e^{-(\frac{\pi}{2}+2k\pi)}=e^{-\frac{\pi}{2}}e^{-2k\pi}\) , \(k\in\mathbb{Z}\) 를 얻는다.

따라서,

\(i^{i}=\cdots,e^{-\frac{5\pi}{2}},e^{-\frac{\pi}{2}},e^{\frac{3\pi}{2}},\cdots\)

주치(principal value)는 k=0인 경우로, \(i^{i}=e^{-\frac{\pi}{2}}\)가 된다.



역사



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