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− | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
| + | ==개요== |
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| + | * <math>i^{i}</math>의 값은 하나로 결정되는 것이 아니라, 무한히 많다. 이는 [[복소로그함수]] 가 무한히 많은 값을 갖기 때문이다. |
| + | * <math>i^{i}=\cdots,e^{-\frac{5\pi}{2}},e^{-\frac{\pi}{2}},e^{\frac{3\pi}{2}},\cdots</math> |
| + | * 주치(principal value)는 <math>e^{-\frac{\pi}{2}}</math>로 주어진다. |
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− | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
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− | * <math>i^{i}</math>의 값은 하나로 결정되는 것이 아니라, 무한히 많다.<br>
| + | ==복소거듭제곱== |
− | * 그러나 그 주치(principal value)는 <math>e^{-\frac{\pi}{2}}</math>로 주어진다. <br>
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− | * 일반적으로 <math>i^i=e^{-\frac{\pi}{2}}e^{2n\pi}</math>이며, 여기서 n은 어떠한 정수라도 가능하다.<br>
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| + | 대학교 학부과정의 [[복소함수론]]에서는 복소수의 복소수 거듭제곱을 다음과 같이 정의한다. |
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| + | 두 복소수 <math>z,\alpha</math>에 대하여,<math>z^{\alpha}:=e^{\alpha \log z}</math>. 여기서 <math>\log z</math>는 [[복소로그함수]]. |
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− | <h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">복소거듭제곱</h5>
| + | (이 정의에서는 복소지수함수 ([[오일러의 공식]] 참조)와 [[복소로그함수]] 가 사용되었다. ) |
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− | 대학교 학부과정의 복소함수론에서는 복소수의 복소수 거듭제곱을 다음과 같이 정의한다.
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− | <math>z^{\alpha}=e^{\alpha \ln z}</math> | + | 복소로그함수에 대하여, 잠시 복습을 하자. 복소로그함수는 복소수 <math>z = re^{i\theta}</math> 에 대하여, 다음과 같이 정의된다 |
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| + | <math>\log z = \ln|z| + i\arg(z) = \ln(r) + i\left(\theta + 2 \pi k \right)</math>. 여기서 <math>k\in\mathbb{Z}</math>. |
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| + | 예를 들어보자면, |
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− | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5> | + | <math>\log 1 = \ln|1| + i\arg(1) = \ln(1) + i\left(0 + 2 \pi k \right) =\cdots, -6\pi i,-4\pi i,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,6\pi i, \cdots</math> |
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− | * Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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− | * 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
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| + | ==i^i의 계산== |
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− | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">역사</h5> | + | <math>i^{i}=e^{i \log i}</math> 이므로 먼저 <math>\log i</math>를 계산하자. |
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| + | <math>\log i = \ln|i| + i\arg(i) = i\left(\frac{\pi}{2} + 2 \pi k \right) =\cdots, ,\frac{\pi}{2}i-4\pi i,\frac{\pi}{2}i-2\pi i,\frac{\pi}{2}i,\frac{\pi}{2}i+2\pi i,\frac{\pi}{2}i+4\pi i,\cdots</math> |
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− | * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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− | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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| + | 이제 정의와 위의 결과를 활용하여, |
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| + | <math>i^{i}=e^{i \log i}=e^{i(\frac{\pi}{2}+2k\pi)i}=e^{-(\frac{\pi}{2}+2k\pi)}=e^{-\frac{\pi}{2}}e^{-2k\pi}</math> , <math>k\in\mathbb{Z}</math> 를 얻는다. |
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− | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">메모</h5>
| + | 따라서, |
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| + | <math>i^{i}=\cdots,e^{-\frac{5\pi}{2}},e^{-\frac{\pi}{2}},e^{\frac{3\pi}{2}},\cdots</math> |
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| + | 주치(principal value)는 k=0인 경우로, <math>i^{i}=e^{-\frac{\pi}{2}}</math>가 된다. |
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− | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들</h5>
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| + | ==역사== |
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− | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
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− | * 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | + | * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q= |
− | * 발음사전 http://www.forvo.com/search/
| + | * [[수학사 연표]] |
− | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
| + | * |
− | ** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
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− | * [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교] | |
− | * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
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− | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5>
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− | * http://ko.wikipedia.org/wiki/
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− | * http://en.wikipedia.org/wiki/
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− | * http://www.proofwiki.org/wiki/
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− | * http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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− | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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− | * [http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
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− | ** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
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− | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련논문</h5>
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− | * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
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− | * http://www.ams.org/mathscinet
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− | * http://dx.doi.org/
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− | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련도서</h5>
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− | * 도서내검색<br> | |
− | ** http://books.google.com/books?q=
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− | ** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
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− | * 도서검색<br>
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− | ** http://books.google.com/books?q=
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− | ** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
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− | ** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
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− | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련기사</h5>
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− | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
| + | ==메모== |
− | ** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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− | ** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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| + | ==관련된 항목들== |
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− | * 구글 블로그 검색<br> | + | * [[복소로그함수]] |
− | ** http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
| + | * [[복소수]] |
− | * [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
| + | [[분류:복소함수론]] |
− | * [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS] | |
− | * [http://betterexplained.com/ BetterExplained]
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개요
- \(i^{i}\)의 값은 하나로 결정되는 것이 아니라, 무한히 많다. 이는 복소로그함수 가 무한히 많은 값을 갖기 때문이다.
- \(i^{i}=\cdots,e^{-\frac{5\pi}{2}},e^{-\frac{\pi}{2}},e^{\frac{3\pi}{2}},\cdots\)
- 주치(principal value)는 \(e^{-\frac{\pi}{2}}\)로 주어진다.
복소거듭제곱
대학교 학부과정의 복소함수론에서는 복소수의 복소수 거듭제곱을 다음과 같이 정의한다.
두 복소수 \(z,\alpha\)에 대하여,\(z^{\alpha}:=e^{\alpha \log z}\). 여기서 \(\log z\)는 복소로그함수.
(이 정의에서는 복소지수함수 (오일러의 공식 참조)와 복소로그함수 가 사용되었다. )
복소로그함수에 대하여, 잠시 복습을 하자. 복소로그함수는 복소수 \(z = re^{i\theta}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의된다
\(\log z = \ln|z| + i\arg(z) = \ln(r) + i\left(\theta + 2 \pi k \right)\). 여기서 \(k\in\mathbb{Z}\).
예를 들어보자면,
\(\log 1 = \ln|1| + i\arg(1) = \ln(1) + i\left(0 + 2 \pi k \right) =\cdots, -6\pi i,-4\pi i,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,6\pi i, \cdots\)
i^i의 계산
\(i^{i}=e^{i \log i}\) 이므로 먼저 \(\log i\)를 계산하자.
\(\log i = \ln|i| + i\arg(i) = i\left(\frac{\pi}{2} + 2 \pi k \right) =\cdots, ,\frac{\pi}{2}i-4\pi i,\frac{\pi}{2}i-2\pi i,\frac{\pi}{2}i,\frac{\pi}{2}i+2\pi i,\frac{\pi}{2}i+4\pi i,\cdots\)
이제 정의와 위의 결과를 활용하여,
\(i^{i}=e^{i \log i}=e^{i(\frac{\pi}{2}+2k\pi)i}=e^{-(\frac{\pi}{2}+2k\pi)}=e^{-\frac{\pi}{2}}e^{-2k\pi}\) , \(k\in\mathbb{Z}\) 를 얻는다.
따라서,
\(i^{i}=\cdots,e^{-\frac{5\pi}{2}},e^{-\frac{\pi}{2}},e^{\frac{3\pi}{2}},\cdots\)
주치(principal value)는 k=0인 경우로, \(i^{i}=e^{-\frac{\pi}{2}}\)가 된다.
역사
메모
관련된 항목들