L-함수, 제타 함수와 디리클레 급수

수학노트
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개요



정의

  • 복소수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 디리클레 급수를 복소함수로서 다음과 같이 정의\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}\]
  • 중요한 디리클레 급수의 경우 다음과 같은 성질을 만족시킴
  • 중요한 문제들
    • 해석적확장의 개념적 이해
    • 정수에서의 special values
    • \(s=1\)에서의 유수
    • \(L'(1)\) 의 값 (Birch and Swinnerton-Dyer 추측)
    • 일반화된 리만가설



리만제타함수


디리클레 L-함수

  • 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의함.\[L(s, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s}, \mathfrak{R}(s)>1\]
  • 디리클레 L-함수 항목 참조


데데킨트 제타함수

  • 수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨\[\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}\] 여기서 \(a_{n}\)은 \(N(\mathfrak{a})=n\)을 만족시키는 integral ideal의 개수




타원곡선의 L-함수

  • 타원곡선 항목에서 가져옴
  • Hasse-Weil 제타함수라고도 함
  • 타원 곡선 E의 conductor가 N일 때, 다음과 같이 정의됨\[L(s,E)=\prod_pL_p(s,E)^{-1}\] 여기서

\[L_p(s,E)=\left\{\begin{array}{ll} (1-a_p p^{-s}+p^{1-2s}), & \mbox{if }p\nmid N \\ (1-a_pp^{-s}), & \mbox{if }p||N \\ 1, & \mbox{if }p^2|N \end{array}\right.\]



모듈라 형식의 L-함수

  • 모듈라 형식(modular forms) f에 대응되는 L-함수\[f(\tau) = \sum_{n=0}^\infty a_n e^{2i\pi n\tau}\]\[L(s,f)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}\]



대수적다양체와 제타함수



역사

  • 수학사 연표
  • 1920 Eric Hecke analytic continuation of L-functions of number fields


메모

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관련논문

  • Kiral, Eren Mehmet, and Fan Zhou. “The Voronoi Formula and Double Dirichlet Series.” arXiv:1508.01985 [math], August 9, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01985.