L-함수, 제타 함수와 디리클레 급수

개요

• 리만제타함수의 일반화
• 디리클레 L-함수는 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리를 증명하는데 사용됨
• 디리클레 class number 공식, Birch and Swinnerton-Dyer 추측 등 정수론의 중요한 주제
• 수체(number field)에 대해 정의되는 데데킨트 제타함수

정의

• 복소수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 디리클레 급수를 복소함수로서 다음과 같이 정의\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}\]
• 예
  • 모든 \(n\)에 대하여, \(a_n=1\) 인 경우, 리만제타함수를 얻게 됨
  • \(a_{4n+1}=1\), \(a_{4n+3}=-1\), \(a_{4n}=a_{4n+2}=0\) 인 경우 디리클레 베타함수를 얻게 됨
• 중요한 디리클레 급수의 경우 다음과 같은 성질을 만족시킴
  • 해석적확장(analytic continuation)
  • 함수방정식
  • 오일러곱
  • (추측)일반화된 리만가설
• 중요한 문제들
  • 해석적확장의 개념적 이해
  • 정수에서의 special values
  • \(s=1\)에서의 유수
  • \(L'(1)\) 의 값 (Birch and Swinnerton-Dyer 추측)
  • 일반화된 리만가설

리만제타함수

• 리만제타함수 항목 참조\[\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\]

디리클레 L-함수

• 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의함.\[L(s, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s}, \mathfrak{R}(s)>1\]
• 디리클레 L-함수 항목 참조

데데킨트 제타함수

• 수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨\[\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}\] 여기서 \(a_{n}\)은 \(N(\mathfrak{a})=n\)을 만족시키는 integral ideal의 개수

타원곡선의 L-함수

• 타원곡선 항목에서 가져옴
• Hasse-Weil 제타함수라고도 함
• 타원 곡선 E의 conductor가 N일 때, 다음과 같이 정의됨\[L(s,E)=\prod_pL_p(s,E)^{-1}\] 여기서

\[L_p(s,E)=\left\{\begin{array}{ll} (1-a_p p^{-s}+p^{1-2s}), & \mbox{if }p\nmid N \\ (1-a_pp^{-s}), & \mbox{if }p||N \\ 1, & \mbox{if }p^2|N \end{array}\right.\]

• 여기서 \(a_p\)는 유한체위에서의 해의 개수와 관련된 정수로 \(a_p=p+1-\#E(\mathbb{F}_p)\)
• Birch and Swinnerton-Dyer 추측 항목 참조

모듈라 형식의 L-함수

• 모듈라 형식(modular forms) f에 대응되는 L-함수\[f(\tau) = \sum_{n=0}^\infty a_n e^{2i\pi n\tau}\]\[L(s,f)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}\]

대수적다양체와 제타함수

• 대수적다양체의 제타함수\[Z_p(T)=\exp(\sum_{r=1}^{\infty}N_r\frac{T^r}{r})\]

역사

• 수학사 연표
• 1920 Eric Hecke analytic continuation of L-functions of number fields

메모

• An overview of the theory of Zeta functions and L-series
• Tuitman, Jan. “Counting Points on Curves: The General Case.” arXiv:1412.7217 [math], December 22, 2014. http://arxiv.org/abs/1412.7217.
• 헤케 L-함수
• 아틴 L-함수
• Reference request: L-series and ζ-functions
• zeta function of abelian varieties and the exterior algebra
• http://wain.mi.ras.ru/zw/
• 다중 제타함수

하위페이지

• L-함수, 제타함수와 디리클레 급수
  • Epstein 제타함수
  • L-함수의 미분
  • Lerch 제타함수
  • 대수적다양체의 제타함수
  • 데데킨트 제타함수
  • 디리클레 L-함수
  • 디리클레 L-함수와 수학의 상수들
  • 디리클레 베타함수
  • 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
  • 후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)
  • 스펙트럼 제타 함수

관련된 항목들

• 적분쇼
• 원분체 (cyclotomic field)

수학용어번역

• 대한수학회 수학 학술 용어집
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_function
• http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_series
• http://en.wikipedia.org/wiki/General_Dirichlet_series
• http://en.wikipedia.org/wiki/Hecke_character
• http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Riemann_hypothesis
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions

관련링크와 웹페이지

• The Modular Forms and L-functions Database Project
• Zeta values on the Web

리뷰, 에세이, 강의노트

• Alberto Perelli, Converse theorems: from the Riemann zeta function to the Selberg class, arXiv:1605.02354 [math.NT], May 08 2016, http://arxiv.org/abs/1605.02354
• Cremona, John. “The L-Functions and Modular Forms Database Project.” arXiv:1511.04289 [math], November 13, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.04289.
• http://sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/pdf/lfunct-ps.pdf
• P. Cartier, An introduction to zeta functions, in \ From number theory to physics", ed. M. Walschmidt, P. Moussa, J.-M. Luck, C. Itzykson Springer

관련논문

• Kiral, Eren Mehmet, and Fan Zhou. “The Voronoi Formula and Double Dirichlet Series.” arXiv:1508.01985 [math], August 9, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01985.