N차원 구면의 부피(면적)
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개요
- 반지름 r인 (n)차원 구면(n-sphere)이란, (n+1)-차원 유클리드 공간에서 다음 등식을 만족시키는 점들의 집합, 또는 그 평행이동을 말함..:<math>x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2= r^2</math>
- 1차원 구면의 부피(즉 길이)는 <math>2\pi r</math>
- 2차원 구면의 부피(즉 넓이)는 <math>4\pi r^2</math>
- 반지름이 1로 주어진 (n-1)차원 구면의 부피 <math>\omega_{n-1}</math>는 얼마가 될까?:<math> \omega_{n-1}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}</math>
- n차원 공의 부피 항목과는 다른 수학적 대상을 다루고 있음
공식의 유도
- 반지름 1인 (n-1)-차원 구면의 부피를 <math>\omega_{n-1}</math> 라 두자
- 원점에서의 거리 <math>r=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}</math>에만 의존하는 (적당한) 임의의 함수 <math>f(r)</math> 를 생각하자.
- <math>I_n(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(r) dx_1\cdots dx_n</math> 라 두면, <math>I_n(f)=\omega_{n-1}\int_{0}^{\infty}f(r)r^{n-1}dr</math> 이 성립한다. 즉,:<math>\omega_{n-1}=\frac{I_n(f)}{\int_{0}^{\infty}f(r)r^{n-1}dr}</math>
- 임의의 <math>f(r)</math>에 대하여 성립하므로, <math>f(r)=e^{-r^2}</math> 로 두자. 다음을 안다.:<math>I_n(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }e^{-r^2} dx_1\cdots dx_n = \pi^{n/2}</math> ( 가우시안 적분 항목 참조):<math>\int_{0}^{\infty}r^{n-1}e^{-r^2}dx=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{n}{2})</math>
- 따라서 구면의 부피는 다음과 같다:<math> \omega_{n-1}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}</math>
매개화를 이용한 방법
- n차원 구면의 매개화를 이용하여 다음의 점화식을 얻을 수 있다:<math> \omega_{n}=\omega_{n-1}\left(\int_0^{\pi }\sin ^{n-1} \phi \, d\phi\right)=\omega_{n-1}\frac{\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}</math>:<math>\omega_1=2\pi </math>
반지름 1인 n-차원 구면의 부피로 주어진 수열
<math>2 \pi ,4 \pi ,2 \pi ^2,\frac{8 \pi ^2}{3},\pi ^3,\frac{16 \pi ^3}{15},\frac{\pi ^4}{3},\frac{32 \pi ^4}{105},\frac{\pi ^5}{12},\frac{64 \pi ^5}{945},\cdots</math>
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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