"N차원 구면의 부피(면적)"의 두 판 사이의 차이

2012년 8월 15일 (수) 15:32 판

반지름 r인 (n)차원 구면(n-sphere)이란, (n+1)-차원 유클리드 공간에서 다음 등식을 만족시키는 점들의 집합, 또는 그 평행이동을 말함..
\(x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2= r^2\)
1차원 구면의 부피(즉 길이)는 \(2\pi r\)
2차원 구면의 부피(즉 넓이)는 \(4\pi r^2\)
반지름이 1로 주어진 (n-1)차원 구면의 부피 \(\omega_{n-1}\)는 얼마가 될까?
\( \omega_{n-1}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\)
n차원 공의 부피 항목과는 다른 수학적 대상을 다루고 있음

반지름 1인 (n-1)-차원 구면의 부피를 \(\omega_{n-1}\) 라 두자
원점에서의 거리 \(r=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}\)에만 의존하는 (적당한) 임의의 함수 \(f(r)\) 를 생각하자.
\(I_n(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(r) dx_1\cdots dx_n\) 라 두면, \(I_n(f)=\omega_{n-1}\int_{0}^{\infty}f(r)r^{n-1}dr\) 이 성립한다. 즉,
\(\omega_{n-1}=\frac{I_n(f)}{\int_{0}^{\infty}f(r)r^{n-1}dr}\)
임의의 \(f(r)\)에 대하여 성립하므로, \(f(r)=e^{-r^2}\) 로 두자. 다음을 안다.
\(I_n(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }e^{-r^2} dx_1\cdots dx_n = \pi^{n/2}\) ( 가우시안 적분 항목 참조)
\(\int_{0}^{\infty}r^{n-1}e^{-r^2}dx=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{n}{2})\)
따라서 구면의 부피는 다음과 같다
\( \omega_{n-1}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\)

\(2 \pi ,4 \pi ,2 \pi ^2,\frac{8 \pi ^2}{3},\pi ^3,\frac{16 \pi ^3}{15},\frac{\pi ^4}{3},\cdots\)

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 * 2차원 구면의 부피(즉 넓이)는 <math>4\pi r^2</math>
 *  반지름이 1로 주어진 (n-1)차원 구면의 부피 <math>\omega_{n-1}</math>는 얼마가 될까?<br><math> \omega_{n-1}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}</math><br>
+* [[n차원 공의 부피]] 항목과는 다른 수학적 대상을 다루고 있음
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+<h5>반지름 1인 n-차원 구면의 부피로 주어진 수열</h5>
-<h5>반지름 1인 n-차원 공의 부피로 주어진 수열</h5>
-<math>2,\pi ,\frac{4 \pi }{3},\frac{\pi ^2}{2},\frac{8 \pi ^2}{15},\frac{\pi ^3}{6},\frac{16 \pi ^3}{105},\frac{\pi ^4}{24},\frac{32 \pi ^4}{945},\frac{\pi ^5}{120}, \cdots</math>
+<math>2 \pi ,4 \pi ,2 \pi ^2,\frac{8 \pi ^2}{3},\pi ^3,\frac{16 \pi ^3}{15},\frac{\pi ^4}{3},\cdots</math>