"N차원 구면의 부피(면적)"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
잔글 (찾아 바꾸기 – “==관련도서== * 도서내검색<br> ** http://books.google.com/books?q= ** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=” 문자열을 “” 문자열로)
잔글 (찾아 바꾸기 – “==관련논문== * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= * http://www.ams.org/mathscinet * http://dx.doi.org/” 문자열을 “” 문자열로)
126번째 줄: 126번째 줄:
 
 
 
 
  
−
==관련논문==
 
  
−
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
−
* http://www.ams.org/mathscinet
 
−
* http://dx.doi.org/
 
  
 
 
 
 
  
 
 
 
 

2012년 11월 2일 (금) 08:40 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

  • 반지름 r인 (n)차원 구면(n-sphere)이란, (n+1)-차원 유클리드 공간에서 다음 등식을 만족시키는 점들의 집합, 또는 그 평행이동을 말함..
    \(x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2= r^2\)
  • 1차원 구면의 부피(즉 길이)는 \(2\pi r\)
  • 2차원 구면의 부피(즉 넓이)는 \(4\pi r^2\)
  • 반지름이 1로 주어진 (n-1)차원 구면의 부피 \(\omega_{n-1}\)는 얼마가 될까?
    \( \omega_{n-1}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\)
  • n차원 공의 부피 항목과는 다른 수학적 대상을 다루고 있음

 

 

공식의 유도

  • 반지름 1인 (n-1)-차원 구면의 부피를 \(\omega_{n-1}\) 라 두자
  • 원점에서의 거리 \(r=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}\)에만 의존하는 (적당한) 임의의 함수 \(f(r)\) 를 생각하자.
  • \(I_n(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(r) dx_1\cdots dx_n\) 라 두면, \(I_n(f)=\omega_{n-1}\int_{0}^{\infty}f(r)r^{n-1}dr\) 이 성립한다. 즉,
    \(\omega_{n-1}=\frac{I_n(f)}{\int_{0}^{\infty}f(r)r^{n-1}dr}\)
  • 임의의 \(f(r)\)에 대하여 성립하므로, \(f(r)=e^{-r^2}\) 로 두자. 다음을 안다.
    \(I_n(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }e^{-r^2} dx_1\cdots dx_n = \pi^{n/2}\) ( 가우시안 적분 항목 참조)
    \(\int_{0}^{\infty}r^{n-1}e^{-r^2}dx=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{n}{2})\)
  • 따라서 구면의 부피는 다음과 같다
    \( \omega_{n-1}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\)

 

 

매개화를 이용한 방법

  • n차원 구면의 매개화를 이용하여 다음의 점화식을 얻을 수 있다
    \( \omega_{n}=\omega_{n-1}\left(\int_0^{\pi }\sin ^{n-1} \phi \, d\phi\right)=\omega_{n-1}\frac{\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}\)
    \(\omega_1=2\pi \)

 

 

반지름 1인 n-차원 구면의 부피로 주어진 수열

\(2 \pi ,4 \pi ,2 \pi ^2,\frac{8 \pi ^2}{3},\pi ^3,\frac{16 \pi ^3}{15},\frac{\pi ^4}{3},\frac{32 \pi ^4}{105},\frac{\pi ^5}{12},\frac{64 \pi ^5}{945},\cdots\)

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 


 

 

원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=N차원_구면의_부피(면적)&oldid=2499"