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*  반지름 r인 (n)차원 구면(n-sphere)이란, (n+1)-차원 유클리드 공간에서 다음 등식을 만족시키는 점들의 집합, 또는 그 평행이동을 말함..:<math>x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2= r^2</math><br>
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*  반지름 r인 (n)차원 구면(n-sphere)이란, (n+1)-차원 유클리드 공간에서 다음 등식을 만족시키는 점들의 집합, 또는 그 평행이동을 말함..:<math>x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2= r^2</math>
 
* 1차원 구면의 부피(즉 길이)는 <math>2\pi r</math>
 
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* 2차원 구면의 부피(즉 넓이)는 <math>4\pi r^2</math>
 
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*  반지름이 1로 주어진 (n-1)차원 구면의 부피 <math>\omega_{n-1}</math>는 얼마가 될까?:<math> \omega_{n-1}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}</math><br>
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*  반지름이 1로 주어진 (n-1)차원 구면의 부피 <math>\omega_{n-1}</math>는 얼마가 될까?:<math> \omega_{n-1}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}</math>
 
* [[n차원 공의 부피]] 항목과는 다른 수학적 대상을 다루고 있음
 
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==공식의 유도==
 
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* 반지름 1인 (n-1)-차원 구면의 부피를 <math>\omega_{n-1}</math> 라 두자
 
* 반지름 1인 (n-1)-차원 구면의 부피를 <math>\omega_{n-1}</math> 라 두자
 
* 원점에서의 거리 <math>r=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}</math>에만 의존하는 (적당한) 임의의 함수 <math>f(r)</math> 를 생각하자.
 
* 원점에서의 거리 <math>r=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}</math>에만 의존하는 (적당한) 임의의 함수 <math>f(r)</math> 를 생각하자.
* <math>I_n(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(r) dx_1\cdots dx_n</math> 라 두면, <math>I_n(f)=\omega_{n-1}\int_{0}^{\infty}f(r)r^{n-1}dr</math> 이 성립한다. 즉,:<math>\omega_{n-1}=\frac{I_n(f)}{\int_{0}^{\infty}f(r)r^{n-1}dr}</math><br>
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* <math>I_n(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(r) dx_1\cdots dx_n</math> 라 두면, <math>I_n(f)=\omega_{n-1}\int_{0}^{\infty}f(r)r^{n-1}dr</math> 이 성립한다. 즉,:<math>\omega_{n-1}=\frac{I_n(f)}{\int_{0}^{\infty}f(r)r^{n-1}dr}</math>
*  임의의 <math>f(r)</math>에 대하여 성립하므로, <math>f(r)=e^{-r^2}</math> 로 두자. 다음을 안다.:<math>I_n(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }e^{-r^2} dx_1\cdots dx_n = \pi^{n/2}</math> ( [[가우시안 적분]] 항목 참조):<math>\int_{0}^{\infty}r^{n-1}e^{-r^2}dx=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{n}{2})</math><br>
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*  임의의 <math>f(r)</math>에 대하여 성립하므로, <math>f(r)=e^{-r^2}</math> 로 두자. 다음을 안다.:<math>I_n(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }e^{-r^2} dx_1\cdots dx_n = \pi^{n/2}</math> ( [[가우시안 적분]] 항목 참조):<math>\int_{0}^{\infty}r^{n-1}e^{-r^2}dx=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{n}{2})</math>
*  따라서 구면의 부피는 다음과 같다:<math> \omega_{n-1}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}</math><br>
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==매개화를 이용한 방법==
 
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* [[n차원 구면의 매개화]]를 이용하여 다음의 점화식을 얻을 수 있다:<math> \omega_{n}=\omega_{n-1}\left(\int_0^{\pi }\sin ^{n-1} \phi \, d\phi\right)=\omega_{n-1}\frac{\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}</math>:<math>\omega_1=2\pi </math><br>
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* [[n차원 구면의 매개화]]를 이용하여 다음의 점화식을 얻을 수 있다:<math> \omega_{n}=\omega_{n-1}\left(\int_0^{\pi }\sin ^{n-1} \phi \, d\phi\right)=\omega_{n-1}\frac{\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}</math>:<math>\omega_1=2\pi </math>
  
 
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==반지름 1인 n-차원 구면의 부피로 주어진 수열==
 
==반지름 1인 n-차원 구면의 부피로 주어진 수열==
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<math>2 \pi ,4 \pi ,2 \pi ^2,\frac{8 \pi ^2}{3},\pi ^3,\frac{16 \pi ^3}{15},\frac{\pi ^4}{3},\frac{32 \pi ^4}{105},\frac{\pi ^5}{12},\frac{64 \pi ^5}{945},\cdots</math>
 
<math>2 \pi ,4 \pi ,2 \pi ^2,\frac{8 \pi ^2}{3},\pi ^3,\frac{16 \pi ^3}{15},\frac{\pi ^4}{3},\frac{32 \pi ^4}{105},\frac{\pi ^5}{12},\frac{64 \pi ^5}{945},\cdots</math>
  
 
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==역사==
 
 
 
 
 
  
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
  
 
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==메모==
 
==메모==
  
 
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 
* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
  
 
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
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* [[N차원 구면의 매개화]]
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* [[초구(hypersphere)]]
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==수학용어번역==
 
 
 
* 단어사전<br>
 
** http://translate.google.com/#en|ko|
 
** http://ko.wiktionary.org/wiki/
 
* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
 
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]
 
* [http://cgi.postech.ac.kr/cgi-bin/cgiwrap/sand/terms/terms.cgi 한국물리학회 물리학 용어집 검색기]
 
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
 
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
 
 
 
 
  
 
 
  
 
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
  
 
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYnBDekFmdU5wU1k/edit
 
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYnBDekFmdU5wU1k/edit
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://functions.wolfram.com/
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
 
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
 
* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
 
 
 
 
 
 
 
 
==사전 형태의 자료==
 
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Main_Page Encyclopaedia of Mathematics]
 
* [http://dlmf.nist.gov NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
 
 
 
 
 
 
 
 
==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
  
 
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[[분류:미적분학]]

2020년 12월 28일 (월) 01:57 기준 최신판

개요

  • 반지름 r인 (n)차원 구면(n-sphere)이란, (n+1)-차원 유클리드 공간에서 다음 등식을 만족시키는 점들의 집합, 또는 그 평행이동을 말함..\[x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2= r^2\]
  • 1차원 구면의 부피(즉 길이)는 \(2\pi r\)
  • 2차원 구면의 부피(즉 넓이)는 \(4\pi r^2\)
  • 반지름이 1로 주어진 (n-1)차원 구면의 부피 \(\omega_{n-1}\)는 얼마가 될까?\[ \omega_{n-1}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\]
  • n차원 공의 부피 항목과는 다른 수학적 대상을 다루고 있음



공식의 유도

  • 반지름 1인 (n-1)-차원 구면의 부피를 \(\omega_{n-1}\) 라 두자
  • 원점에서의 거리 \(r=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}\)에만 의존하는 (적당한) 임의의 함수 \(f(r)\) 를 생각하자.
  • \(I_n(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(r) dx_1\cdots dx_n\) 라 두면, \(I_n(f)=\omega_{n-1}\int_{0}^{\infty}f(r)r^{n-1}dr\) 이 성립한다. 즉,\[\omega_{n-1}=\frac{I_n(f)}{\int_{0}^{\infty}f(r)r^{n-1}dr}\]
  • 임의의 \(f(r)\)에 대하여 성립하므로, \(f(r)=e^{-r^2}\) 로 두자. 다음을 안다.\[I_n(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }e^{-r^2} dx_1\cdots dx_n = \pi^{n/2}\] ( 가우시안 적분 항목 참조)\[\int_{0}^{\infty}r^{n-1}e^{-r^2}dx=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{n}{2})\]
  • 따라서 구면의 부피는 다음과 같다\[ \omega_{n-1}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\]



매개화를 이용한 방법

  • n차원 구면의 매개화를 이용하여 다음의 점화식을 얻을 수 있다\[ \omega_{n}=\omega_{n-1}\left(\int_0^{\pi }\sin ^{n-1} \phi \, d\phi\right)=\omega_{n-1}\frac{\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}\]\[\omega_1=2\pi \]



반지름 1인 n-차원 구면의 부피로 주어진 수열

\(2 \pi ,4 \pi ,2 \pi ^2,\frac{8 \pi ^2}{3},\pi ^3,\frac{16 \pi ^3}{15},\frac{\pi ^4}{3},\frac{32 \pi ^4}{105},\frac{\pi ^5}{12},\frac{64 \pi ^5}{945},\cdots\)




메모



관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스