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* 반지름 1인 (n-1)-차원 구면의 부피를 <math>\omega_{n-1}</math> 라 두자 | * 반지름 1인 (n-1)-차원 구면의 부피를 <math>\omega_{n-1}</math> 라 두자 | ||
* 원점에서의 거리 <math>r=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}</math>에만 의존하는 (적당한) 임의의 함수 <math>f(r)</math> 를 생각하자. | * 원점에서의 거리 <math>r=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}</math>에만 의존하는 (적당한) 임의의 함수 <math>f(r)</math> 를 생각하자. | ||
| − | * <math>I_n(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(r) dx_1\cdots dx_n</math> 라 두면, | + | * <math>I_n(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(r) dx_1\cdots dx_n</math> 라 두면, <math>I_n(f)=\omega_{n-1}\int_{0}^{\infty}f(r)r^{n-1}dr</math> 이 성립한다. 즉,:<math>\omega_{n-1}=\frac{I_n(f)}{\int_{0}^{\infty}f(r)r^{n-1}dr}</math> |
| − | * 임의의 <math>f(r)</math>에 대하여 성립하므로, <math>f(r)=e^{-r^2}</math> 로 두자. 다음을 안다. | + | * 임의의 <math>f(r)</math>에 대하여 성립하므로, <math>f(r)=e^{-r^2}</math> 로 두자. 다음을 안다.:<math>I_n(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }e^{-r^2} dx_1\cdots dx_n = \pi^{n/2}</math> ( [[가우시안 적분]] 항목 참조):<math>\int_{0}^{\infty}r^{n-1}e^{-r^2}dx=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{n}{2})</math> |
| − | * 따라서 구면의 부피는 다음과 같다 | + | * 따라서 구면의 부피는 다음과 같다:<math> \omega_{n-1}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}</math> |
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| − | * [[n차원 구면의 매개화]]를 이용하여 다음의 점화식을 얻을 수 있다 | + | * [[n차원 구면의 매개화]]를 이용하여 다음의 점화식을 얻을 수 있다:<math> \omega_{n}=\omega_{n-1}\left(\int_0^{\pi }\sin ^{n-1} \phi \, d\phi\right)=\omega_{n-1}\frac{\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}</math>:<math>\omega_1=2\pi </math> |
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYnBDekFmdU5wU1k/edit | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYnBDekFmdU5wU1k/edit | ||
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2020년 12월 28일 (월) 02:57 기준 최신판
개요
- 반지름 r인 (n)차원 구면(n-sphere)이란, (n+1)-차원 유클리드 공간에서 다음 등식을 만족시키는 점들의 집합, 또는 그 평행이동을 말함..\[x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2= r^2\]
- 1차원 구면의 부피(즉 길이)는 \(2\pi r\)
- 2차원 구면의 부피(즉 넓이)는 \(4\pi r^2\)
- 반지름이 1로 주어진 (n-1)차원 구면의 부피 \(\omega_{n-1}\)는 얼마가 될까?\[ \omega_{n-1}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\]
- n차원 공의 부피 항목과는 다른 수학적 대상을 다루고 있음
공식의 유도
- 반지름 1인 (n-1)-차원 구면의 부피를 \(\omega_{n-1}\) 라 두자
- 원점에서의 거리 \(r=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}\)에만 의존하는 (적당한) 임의의 함수 \(f(r)\) 를 생각하자.
- \(I_n(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(r) dx_1\cdots dx_n\) 라 두면, \(I_n(f)=\omega_{n-1}\int_{0}^{\infty}f(r)r^{n-1}dr\) 이 성립한다. 즉,\[\omega_{n-1}=\frac{I_n(f)}{\int_{0}^{\infty}f(r)r^{n-1}dr}\]
- 임의의 \(f(r)\)에 대하여 성립하므로, \(f(r)=e^{-r^2}\) 로 두자. 다음을 안다.\[I_n(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }e^{-r^2} dx_1\cdots dx_n = \pi^{n/2}\] ( 가우시안 적분 항목 참조)\[\int_{0}^{\infty}r^{n-1}e^{-r^2}dx=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{n}{2})\]
- 따라서 구면의 부피는 다음과 같다\[ \omega_{n-1}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\]
매개화를 이용한 방법
- n차원 구면의 매개화를 이용하여 다음의 점화식을 얻을 수 있다\[ \omega_{n}=\omega_{n-1}\left(\int_0^{\pi }\sin ^{n-1} \phi \, d\phi\right)=\omega_{n-1}\frac{\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}\]\[\omega_1=2\pi \]
반지름 1인 n-차원 구면의 부피로 주어진 수열
\(2 \pi ,4 \pi ,2 \pi ^2,\frac{8 \pi ^2}{3},\pi ^3,\frac{16 \pi ^3}{15},\frac{\pi ^4}{3},\frac{32 \pi ^4}{105},\frac{\pi ^5}{12},\frac{64 \pi ^5}{945},\cdots\)
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들