N차원 구면의 부피(면적)

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개요

반지름 r인 (n)차원 구면(n-sphere)이란, (n+1)-차원 유클리드 공간에서 다음 등식을 만족시키는 점들의 집합, 또는 그 평행이동을 말함..
\(x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2= r^2\)
1차원 구면의 부피(즉 길이)는 \(2\pi r\)
2차원 구면의 부피(즉 넓이)는 \(4\pi r^2\)
반지름이 1로 주어진 (n-1)차원 구면의 부피 \(\omega_{n-1}\)는 얼마가 될까?
\( \omega_{n-1}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\)

공식의 유도

반지름 1인 (n-1)-차원 구면의 부피를 \(\omega_{n-1}\) 라 두자
원점에서의 거리 \(r=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}\)에만 의존하는 (적당한) 임의의 함수 \(f(r)\) 를 생각하자.
\(I_n=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(r) dx_1\cdots dx_n\) 라 두면,

(증명)

\(\omega_{n}=\int\cdots\int_{x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ 1} dx_{1}\cdots dx_{n} = \int_{-1}^{1}(\int\cdots \int_{x_1^2+\cdots +x_{n-1}^2\leq\ 1-x_{n}^2} dx_{1}\cdots dx_{n-1})dx_{n}\)

\(=\int_{-1}^{1} \omega_{n-1} (1-x_{n}^2)^{\frac{n-1}{2}}dx_{n} =\frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)} \omega_{n-1}\)

\(\omega_{n}=\int\cdots\int_{x_1^2+\cdots+x_n^2 \leq 1} dx_{1}\cdots dx_{n} = \int_{x_{n-1}^2+x_{n}^2 \leq 1}(\int\cdots \int_{x_1^2+\cdots +x_{n-2}^2\leq\ 1-x_{n-1}^2-x_{n}^2} dx_{1}\cdots dx_{n-2})dx_{n-1} dx_{n}\)

\(=\int_{x_{n-1}^2+x_{n}^2 \leq 1} \omega_{n-2} (1-x_{n-1}^2-x_{n}^2)^{\frac{n-2}{2}}dx_{n-1}dx_{n} = \frac{2\pi}{n}\omega_{n-2}\) ■

반지름 1인 n-차원 공의 부피로 주어진 수열

\(2,\pi ,\frac{4 \pi }{3},\frac{\pi ^2}{2},\frac{8 \pi ^2}{15},\frac{\pi ^3}{6},\frac{16 \pi ^3}{105},\frac{\pi ^4}{24},\frac{32 \pi ^4}{945},\frac{\pi ^5}{120}, \cdots\)

N차원 구면의 부피(면적)

목차

이 항목의 수학노트 원문주소

개요

공식의 유도

반지름 1인 n-차원 공의 부피로 주어진 수열

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