N차원 구면의 부피(면적)

개요

• 반지름 r인 (n)차원 구면(n-sphere)이란, (n+1)-차원 유클리드 공간에서 다음 등식을 만족시키는 점들의 집합, 또는 그 평행이동을 말함..\[x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2= r^2\]
• 1차원 구면의 부피(즉 길이)는 \(2\pi r\)
• 2차원 구면의 부피(즉 넓이)는 \(4\pi r^2\)
• 반지름이 1로 주어진 (n-1)차원 구면의 부피 \(\omega_{n-1}\)는 얼마가 될까?\[ \omega_{n-1}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\]
• n차원 공의 부피 항목과는 다른 수학적 대상을 다루고 있음

공식의 유도

• 반지름 1인 (n-1)-차원 구면의 부피를 \(\omega_{n-1}\) 라 두자
• 원점에서의 거리 \(r=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}\)에만 의존하는 (적당한) 임의의 함수 \(f(r)\) 를 생각하자.
• \(I_n(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(r) dx_1\cdots dx_n\) 라 두면, \(I_n(f)=\omega_{n-1}\int_{0}^{\infty}f(r)r^{n-1}dr\) 이 성립한다. 즉,\[\omega_{n-1}=\frac{I_n(f)}{\int_{0}^{\infty}f(r)r^{n-1}dr}\]
• 임의의 \(f(r)\)에 대하여 성립하므로, \(f(r)=e^{-r^2}\) 로 두자. 다음을 안다.\[I_n(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }e^{-r^2} dx_1\cdots dx_n = \pi^{n/2}\] ( 가우시안 적분 항목 참조)\[\int_{0}^{\infty}r^{n-1}e^{-r^2}dx=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{n}{2})\]
• 따라서 구면의 부피는 다음과 같다\[ \omega_{n-1}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\]

매개화를 이용한 방법

• n차원 구면의 매개화를 이용하여 다음의 점화식을 얻을 수 있다\[ \omega_{n}=\omega_{n-1}\left(\int_0^{\pi }\sin ^{n-1} \phi \, d\phi\right)=\omega_{n-1}\frac{\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}\]\[\omega_1=2\pi \]

반지름 1인 n-차원 구면의 부피로 주어진 수열

\(2 \pi ,4 \pi ,2 \pi ^2,\frac{8 \pi ^2}{3},\pi ^3,\frac{16 \pi ^3}{15},\frac{\pi ^4}{3},\frac{32 \pi ^4}{105},\frac{\pi ^5}{12},\frac{64 \pi ^5}{945},\cdots\)

메모

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

관련된 항목들

• N차원 구면의 매개화
• 초구(hypersphere)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYnBDekFmdU5wU1k/edit