P진 해석학(p-adic analysis)

수학노트
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개요

  • 실수체는 유리수체로부터 완비성을 갖도록 해줌으로써 구성됨
  • 그러나 실수체만이 유리수체의 완비화를 통해 얻어지는 것은 아님.
  • 완비성을 갖도록 해주기 위해서는 먼저 유리수 사이에 거리의 개념이 필요
    • 유리수체 위의 거리는 각 소수 p에 대응되는 거리의 개념과, 잘 알려진 (실수를 만드는) 절대값이 존재



유리수체에 정의할 수 있는 거리의 개념

실수에서의 절대값

  • 절대값은 다음의 성질을 만족한다
  1. \(|x|=0 \iff x=0\)
  2. \(|xy|=|x||y|\)
  3. \(|x+y|\leq |x|+|y|\) (삼각부등식)

p-adic 절대값

  • 소수 $p$와 정수 $x$에 대하여, $\operatorname{ord}_p x$를 $a\equiv 0\pmod {p^m}$을 만족하는 최대의 $m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$으로 정의하자
  • 유리수 $x=a/b$에 대해서는 $\operatorname{ord}_p x:=\operatorname{ord}_p a-\operatorname{ord}_p b$
  • 유리수체 $\mathbb{Q}$위에 함수 $|\cdot|_p$를 다음과 같이 정의하자

$$ |x|_{p} = \begin{cases} \frac{1}{p^{\operatorname{ord}_p x}}, & \text{if $x\neq 0$;}\\ 0, & \text{if $x=0$} \\ \end{cases} $$

  • $|\cdot|_p$는 다음의 성질을 만족한다
  1. \(|x|_{p}=0 \iff x=0\)
  2. \(|xy|_{p}=|x|_{p}|y|_{p}\)
  3. \(|x+y|_{p}\leq |x|_{p}+|y|_{p}\) 뿐만 아니라, \(|x+y|_{p}\leq \operatorname{max} \{|x|_{p},|y|_{p}\}\)가 성립한다.


유리수의 p진 전개

  • 주어진 소수 p에 대하여, 모든 유리수를 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다 (p진법 전개)

\[\sum_{k=n}^{\infty}b_{k}p^{k},\,b_k\in\{0,1,\cdots,p-1\}\]

  • 정수 k가 커질수록, \(p^{k}\) 는 p진체에서 점점 0에 가까워진다
  • 2-adic field에서는, \(1+2+4+8+16+32 +\cdots = \cdots 11111_{2}=-1\) 이 성립함.
  • 3-adic field에서는 \(2+2\cdot3+2\cdot3^{2}+2\cdot3^{2}\cdots=\cdots 22222_{3}=-1\)
  • 7-adic field에서는 \(4+3\cdot 7 +3\cdot 49+\cdots=\cdots 3334_{7} = 1/2\)


실수의 십진법 표현과의 비교

  • 오른쪽으로 무한개의 소수자리
  • 왼쪽으로 ...


로랑급수와의 유사성

  • 로랑급수\[\frac{a_{-3}}{x^3}+\frac{a_{-2}}{x^2}+\frac{a_{-1}}{x}+a_0+ a_1 x+ a_2 x^2+ a_3x^3+ a_4x^4+\cdots\] 에서 고차항은 급수의 국소적인 행동에 작은 영향


다항식의 해

  • \(\mathbb{Q}_{5}\) 에서 방정식 \(x^2+1=0\)의 두 해는 다음과 같다

\[x=2+5+2\times 5^2+5^3+3\times 5^4+4\times 5^5+2\times 5^6+3\times 5^7+\cdots\] \[x=3+3\times 5+2\times 5^2+3\times 5^3+5^4+2\times 5^6+5^7+4\times 5^8+\cdots\]


하 측도 (Haar measure)

  • $(\mathbb{Q}_p,+)$는 국소컴팩트 군이며 하 측도를 가진다
  • 하 측도 $\mu=dx$가 $\mu(\mathbb{Z}_p)=1$이 되도록 선택할 수 있다
  • 임의의 측도가능집합 $A$와 $a\in \mathbb{Q}_p$에 대하여 $\mu(x A)=|x|_p \mu(A)$가 성립한다
  • 측도 $\frac{dx}{|x|_p}$는 $(\mathbb{Q}_p^{\times},\times)$에 정의되는 하 측도이다
  • 다음이 성립한다

$$ \operatorname{vol}_{\frac{dx}{|x|_p}}(\mathbb{Z}_p^{\times})=\int_{\mathbb{Z}_p^{\times}}\frac{dx}{|x|_p}=\int_{\mathbb{Z}_p^{\times}}\,dx=\operatorname{vol}_{dx}(\mathbb{Z}_p^{\times}) $$ 여기에 $\mathbb{Z}_p^{\times}=\cup_{a\neq 0 \mod p} (a+p\mathbb{Z}_p)$을 이용하면, $$ \operatorname{vol}_{dx}(\mathbb{Z}_p^{\times})=(p-1)\operatorname{vol}_{dx}(p\mathbb{Z}_p)=\frac{p-1}{p} $$

  • 따라서 측도 $d^{\times}x:=\frac{p}{p-1}\frac{dx}{|x|_p}$는 $\operatorname{vol}_{d^{\times}x}(\mathbb{Z}_p^{\times})=1$을 만족한다
  • 실수부가 0보다 큰 복소수 $s$에 대하여, 다음이 성립한다

$$ \int_{\mathbb{Z}_p\backslash\{0\}}|x|_p^s\,d^{\times}x=\sum_{k=0}^{\infty}p^{-ks}\int_{\mathbb{Z}_p^{\times}}d^{\times}x=\frac{1}{1-p^{-s}} \tag{1} $$

  • (1)의 첫번째 등식에서는 $\mathbb{Z}_p\backslash\{0\}=\cup_{k\geq 0} (p^k\mathbb{Z}_p^{\times})$을 이용하였다.
  • (1)는 리만제타함수의 소수 p에 해당하는 오일러 인수(Euler factor)가 된다


메모

  • Browning, Tim, and Rachel Newton. “The Proportion of Failures of the Hasse Norm Principle.” arXiv:1411.7775 [math], November 28, 2014. http://arxiv.org/abs/1411.7775.


역사

  • 1897년 쿠르트 헨젤이 개념을 도입
  • 1913년 헨젤 zahlentheorie
  • 1920년 Hasse principle

관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료



관련도서


리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문

  • Errthum, Eric. “A Division Algorithm Approach to $p$-Adic Sylvester Expansions.” arXiv:1508.01503 [math], August 6, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01503.