P진 해석학(p-adic analysis)

수학노트
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개요

  • 실수체는 유리수체로부터 완비성을 갖도록 해줌으로써 구성됨
  • 그러나 실수체만이 유리수체의 완비화를 통해 얻어지는 것은 아님.
  • 완비성을 갖도록 해주기 위해서는 먼저 유리수 사이에 거리의 개념이 필요
    • 유리수체 위의 거리는 각 소수 p에 대응되는 거리의 개념과, 잘 알려진 (실수를 만드는) 절대값이 존재

 

 

 

유리수체에 정의할 수 있는 거리의 개념

  • 실수에서의 절대값
    \(|x|=0 \iff x=0\)
    \(|xy|=|x||y|\)
    \(|x+y|\leq |x|+|y|\) (삼각부등식)
  • p-adic 절대값
    \(|x|_{p}=0 \iff x=0\)
    \(|xy|_{p}=|x|_{p}|y|_{p}\)
    \(|x+y|_{p}\leq |x|_{p}+|y|_{p}\) 뿐만 아니라, \(|x+y|_{p}\leq \operatorname{max} \{|x|_{p},|y|_{p}\}\)가 성립한다. 

 

 

유리수의 p진 전개

  • 주어진 소수 p에 대하여, 모든 유리수를 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다  (p진법 전개)
    \(\sum_{k=n}^{\infty}b_{k}p^{k}\), \(b_k\in\{0,1,\cdots,p-1\}\)
  • 정수 k가 커질수록, \(p^{k}\) 는 p진체에서 점점 0에 가까워진다
  • 2-adic field에서는, \(1+2+4+8+16+32 +\cdots = \cdots 11111_{2}=-1\) 이 성립함.
  • 3-adic field에서는 \(2+2\cdot3+2\cdot3^{2}+2\cdot3^{2}\cdots=\cdots 22222_{3}=-1\)
  • 7-adic field에서는 \(4+3\cdot 7 +3\cdot 49+\cdots=\cdots 3334_{7} = 1/2\)

 

 

 

실수의 십진법 표현과의 비교

  • 오른쪽으로 무한개의 소수자리
  • 왼쪽으로 ...

 

 

 

로랑급수와의 유사성

  • 로랑급수
    \(\frac{a_{-3}}{x^3}+\frac{a_{-2}}{x^2}+\frac{a_{-1}}{x}+a_0+ a_1 x+ a_2 x^2+ a_3x^3+ a_4x^4+\cdots\)
    에서 고차항은 급수의 국소적인 행동에 작은 영향

 

 

다항식의 해

  • \(\mathbb{Q}_{5}\) 에서 방정식 \(x^2+1=0\)의 두 해는 다음과 같다 \(2+5+2\ 5^2+5^3+3\ 5^4+4\ 5^5+2\ 5^6+3\ 5^7+\cdots\)
    \(x=2+5+2\times 5^2+5^3+3\times 5^4+4\times 5^5+2\times 5^6+3\times 5^7+\cdots\)
    \(x=3+3\times 5+2\times 5^2+3\times 5^3+5^4+2\times 5^6+5^7+4\times 5^8+\cdots\)

 

 

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