Q-이항계수 (가우스 다항식)

수학노트
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개요


양자평면

  • 세 변수 \(x,y,q\) 사이에 다음과 같은 관계를 정의\[yx=qxy,xq=qx,yq=qy\]
  • 거듭제곱의 전개\[(x+y)=x+y\]\[(x+y)^2=x^2+(1+q)xy+y^2\]\[(x+y)^3=x^3+(1+q+q^2)x^2y+(1+q+q^2)xy^2+y^3\]\[(x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4\]
  • 여기서 등장하는 계수들을 q-이항계수로 정의하고자 한다
  • 양자 바일 대수와 양자평면 항목 참조


q-이항계수

  • 정의 \[{n \choose r}_q=\frac{[n]_q!}{[r]_q![n - r]_q!}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_r(q;q)_{n-r}}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)_q^r (1-q)_q^{n-r}}\] 풀어쓰면 다음과 같다 \[{n \choose r}_q=\frac{(1-q^n)\cdots(1-q^{n-r+1})}{(1-q^r)\cdots(1-q^{1})}\]
  • 예 \[{4 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3\]\[{4 \choose 2}_q=(1+q+q^2)(1+q^2)=1+q+2q^2+q^3+q^4\]\[{5 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3+q^4\]\[{5 \choose 2}_q=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)\]
  • \(n\)이 작은 경우에 대한 q-이항계수의 목록 참조


점화식

  • 이항계수와 조합에서 얻은 식의 q-analogue\[{n\choose r-1}_q+q^r{n\choose r}_q={n+1\choose r}_q\]
  • q-이항계수의 목록 항목 참조\[{4\choose 1}_q+q^2{4\choose 2}_q={5\choose 2}_q\]\[1+q+q^2+q^3+q^2(1+q+2q^2+q^3+q^4)=1+q+q^2+q^3+q^4+q^2(1+q+q^2+q^3+q^4)=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)\]


역사



메모



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련논문

  • Igor Pak, Greta Panova, Bounds on Kronecker and $q$-binomial coefficients, arXiv:1410.7087 [math.CO], October 26 2014, http://arxiv.org/abs/1410.7087
  • Dhand, Vivek. 2014. “A Combinatorial Proof of Strict Unimodality for $q$-Binomial Coefficients.” arXiv:1402.1199 [math]. http://arxiv.org/abs/1402.1199.
  • Pak, Igor, and Greta Panova. 2013. “Strict Unimodality of $q$-Binomial Coefficients.” Comptes Rendus Mathématique. Académie Des Sciences. Paris 351 (11-12): 415–418. doi:10.1016/j.crma.2013.06.008.
  • Kirillov, Anatol N. 1992. “Unimodality of Generalized Gaussian Coefficients.” Comptes Rendus de l’Académie Des Sciences. Série I. Mathématique 315 (5): 497–501.
  • O’Hara, Kathleen M. 1990. “Unimodality of Gaussian Coefficients: A Constructive Proof.” Journal of Combinatorial Theory. Series A 53 (1): 29–52. doi:10.1016/0097-3165(90)90018-R.

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