"Q-적분 (잭슨 적분, Jackson integral)"의 두 판 사이의 차이
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:<math>\int_0^{\infty} f(x) d_q x =(1-q)\sum_{k=-\infty}^{\infty}q^k f(q^k )</math><br> | :<math>\int_0^{\infty} f(x) d_q x =(1-q)\sum_{k=-\infty}^{\infty}q^k f(q^k )</math><br> | ||
* <math>q\to 1</math> 이면, :<math>\int_0^a f(x) d_q x \to \int_0^a f(x) dx </math><br> | * <math>q\to 1</math> 이면, :<math>\int_0^a f(x) d_q x \to \int_0^a f(x) dx </math><br> | ||
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==페르마의 결과== | ==페르마의 결과== | ||
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$$\int_0^a x^n d_q x =a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k a^nq^{nk}=\frac{1-q}{1-q^{n+1}}a^{n+1}$$ | $$\int_0^a x^n d_q x =a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k a^nq^{nk}=\frac{1-q}{1-q^{n+1}}a^{n+1}$$ | ||
$$\lim_{q\to 1}\frac{1-q}{1-q^{n+1}}a^{n+1}=\frac{a^{n+1}}{n+1}$$ | $$\lim_{q\to 1}\frac{1-q}{1-q^{n+1}}a^{n+1}=\frac{a^{n+1}}{n+1}$$ | ||
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_measure | * http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_measure | ||
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* Tarasov, Vitaly, 와/과Alexander Varchenko. 1993. “Jackson Integral Representations for Solutions to the Quantized Knizhnik-Zamolodchikov Equation”. <em>hep-th/9311040</em> (11월 6). http://arxiv.org/abs/hep-th/9311040 | * Tarasov, Vitaly, 와/과Alexander Varchenko. 1993. “Jackson Integral Representations for Solutions to the Quantized Knizhnik-Zamolodchikov Equation”. <em>hep-th/9311040</em> (11월 6). http://arxiv.org/abs/hep-th/9311040 | ||
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2013년 3월 29일 (금) 15:28 판
개요
- 적분의 q-analogue
- 잭슨적분이라 불르기도 한다
정의
- \(0<q<1\)에 대하여 다음과 같이 정의
\[\int_0^a f(x) d_q x = (1-q)\sum_{k=0}^{\infty}f(aq^k)aq^k \]
\[\int_0^{\infty} f(x) d_q x =(1-q)\sum_{k=-\infty}^{\infty}q^k f(q^k )\]
- \(q\to 1\) 이면, \[\int_0^a f(x) d_q x \to \int_0^a f(x) dx \]
페르마의 결과
- 위의 방법으로 페르마는 적분 \(\int_0^a x^n\,dx\)을 기하급수 문제로 변형하여 해결함
$$\int_0^a x^n d_q x =a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k a^nq^{nk}=\frac{1-q}{1-q^{n+1}}a^{n+1}$$ $$\lim_{q\to 1}\frac{1-q}{1-q^{n+1}}a^{n+1}=\frac{a^{n+1}}{n+1}$$
역사
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Jackson_integral
- http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_measure
관련논문
- Koornwinder, Tom H. 1996. “Special functions and q-commuting variables”. q-alg/9608008 (8월 13). [1]http://arxiv.org/abs/q-alg/9608008
- Tarasov, Vitaly, 와/과Alexander Varchenko. 1993. “Jackson Integral Representations for Solutions to the Quantized Knizhnik-Zamolodchikov Equation”. hep-th/9311040 (11월 6). http://arxiv.org/abs/hep-th/9311040