Q-적분 (잭슨 적분, Jackson integral)

개요

• 적분의 q-analogue
  
• 잭슨적분이라 불르기도 한다
  

정의

• \(0<q<1\)에 대하여 다음과 같이 정의

\[\int_0^a f(x) d_q x = (1-q)\sum_{k=0}^{\infty}f(aq^k)aq^k \] \[\int_0^{\infty} f(x) d_q x =(1-q)\sum_{k=-\infty}^{\infty}q^k f(q^k )\]

• \(q\to 1\) 이면, \[\int_0^a f(x) d_q x \to \int_0^a f(x) dx \]
  

페르마의 결과

• 위의 방법으로 페르마는 적분 \(\int_0^a x^n\,dx\)을 기하급수 문제로 변형하여 해결함

$$\int_0^a x^n d_q x =a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k a^nq^{nk}=\frac{1-q}{1-q^{n+1}}a^{n+1}$$ $$\lim_{q\to 1}\frac{1-q}{1-q^{n+1}}a^{n+1}=\frac{a^{n+1}}{n+1}$$

역사

• 수학사 연표

관련된 항목들

• 양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)
  

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZTNhMDlhYzMtYjZlNy00ODI3LWE0MzYtNzM5OTE3ZDg3ODgx&sort=name&layout=list&num=50

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Jackson_integral
• http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_measure

관련논문

• Koornwinder, Tom H. 1996. “Special functions and q-commuting variables”. q-alg/9608008 (8월 13). [1]http://arxiv.org/abs/q-alg/9608008
• Tarasov, Vitaly, 와/과Alexander Varchenko. 1993. “Jackson Integral Representations for Solutions to the Quantized Knizhnik-Zamolodchikov Equation”. hep-th/9311040 (11월 6). http://arxiv.org/abs/hep-th/9311040