리대수 sl(2,C)의 유한차원 표현론

수학노트
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개요

  • 복소수 체 위에 정의된 리대수 \(\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\)의 유한차원 표현론
  • 각 \(m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\) 에 대하여, $m+1$ 차원 기약표현 \(V(m)\)가 존재하며, 모든 유한차원 기약표현이 이러한 형태로 얻어진다


리대수 \(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\)

  • 3차원 리대수의 기저

\[E=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}\] \[F=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\] \[H=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\]

  • \(L=\langle E,F,H \rangle\)
  • 교환자

\[[E,F]=H\]\[[H,E]=2E\]\[[H,F]=-2F\]

  • 카르탄 행렬 \(\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}\)
  • 루트 시스템 \(\Phi=\{\alpha,-\alpha\}\)
  • universal enveloping algebra의 PBW 기저 \(\{F^kH^lE^m|k,l,m\geq 0\}\)


highest weight representation

  • \(V\) :유한차원인 기약표현
  • \(V=\oplus_{\lambda\in\mathbb{C}}V_{\lambda}\), \(V_{\lambda}=\{v\in V|Hv=\lambda v\}\)
  • \(\lambda\in \mathbb{C}\) 에 대하여, 다음의 조건을 만족하는 highest weight vector \(v_0\) 를 정의

\[Ev_0=0\] \[Hv_0=\lambda v_0\]

  • \(v_j:=\frac{F^j}{j!}v_0\) 로 정의하면, 다음 관계가 만족된다

\[H v_j=(\lambda -2j)v_j\] \[F v_j=(j+1)v_{j+1}\] \[E v_j=(\lambda -j+1)v_{j-1}\]

  • \(\{v_j|j\geq 0\}\) 가 생성하는 벡터공간이 유한차원인 $\mathfrak{g}$-모듈이 되려면, \(\lambda\in\mathbb{Z}, \lambda\geq 0\) 이 만족되어야 한다


유한차원 기약표현의 분류

  • 각 \(m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\) 에 대하여, $m+1$ 차원 기약표현 \(V(m)\)가 존재한다
  • 모든 유한차원 기약표현 \(V\)에 대하여 적당한 \(m\geq 0\)이 존재하여 \(V\simeq V(m)\)이 성립
  • $V(m)$으로 생성되는 환의 구조에 대해서는 클렙시-고단 법칙 (Clebsch-Gordan rule) 항목 참조


지표 (character)

  • weight과 바일 벡터

\[\omega=\frac{1}{2}\alpha, \rho=\omega\]

  • 지표는 다음과 같다

\[\operatorname{ch}V(k)=\frac{e^{(k+1)\omega}-e^{-(k+1)\omega}}{e^{\omega}-e^{-\omega}}=e^{k\omega}+e^{(k-2)\omega}+\cdots+e^{-k\omega}\]

\[\frac{e^{i(k+1)\theta}-e^{-i(k+1)\theta}}{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}= \frac{\sin (k+1)\theta}{\sin \theta}=U_k(\cos\theta)\]


$\operatorname{Sym}^j V(k)$와 $\Lambda^{j}V(k)$의 지표

  • [GW1998]


$\operatorname{Sym}^j V(k)$

\[\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1}=\sum_{j=0}^{\infty}z^j\begin{bmatrix} k+j\\ k\end{bmatrix}_{q}\]

정리

$\mathfrak{sl}_2$의 $(k+1)$-차원 기약표현 $V(k)$에 대하여, 표현 $\operatorname{Sym}^j V(k)$의 지표는 다음과 같다 \[\chi(\operatorname{Sym}^j V(k))=\begin{bmatrix} k+j\\ k\end{bmatrix}_{q}\] 생성함수는 다음과 같다 $$ \sum_{j=0}^{\infty}\chi(\operatorname{Sym}^j V(k))z^j=\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1} $$ 여기서 \([n]_{q}=\frac{q^n-q^{-n}}{q-q^{-1}}\)

증명

$k$를 고정하자. 표현 $\operatorname{Sym}^j V(k)$의 지표를 \(F_j(q)\)라 하자 \[F_j(q)=\sum_{m_0,\cdots,m_k}q^{(k-0)m_0+(k-2)m_1+\cdots+(2-k)m_{k-1}+(0-k)m_k}\] 이 때, 합은 \(m_0+m_1+\cdots+m_k=j\)를 만족하는 $(m_0,\cdots, m_k)$에 대한 것이다.

다음 생성함수를 생각하자 \[F(z,q)=\sum_{j=0}^{\infty}F_j(q)z^j\] 다음이 성립한다 \[F(z,q)=\sum_{j=0}^{\infty}F_j(q)z^j=\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1}\] 이를 증명하기 위해, 다음을 생각하자 \[(1-zq^{k-2j})^{-1}=\sum_{m=0}^{\infty}z^mq^{m(k-2j)}\] 따라서 \[\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1}=\sum_{m_0,\cdots,m_k}z^{m_0+\cdots+m_k}q^{(k-0)m_0+(k-2)m_1+\cdots+(2-k)m_{k-1}+(0-k)m_k}\] 다음을 확인할 수 있다 \[\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1}=\sum_{j=0}^{\infty}z^j\begin{bmatrix} k+j\\ k\end{bmatrix}_{q}\]■


$\Lambda^{j}V(k)$

\[\prod_{j=0}^{k}(1+zq^{k-2j})=\sum_{j=0}^{k+1}\begin{bmatrix} k+1 \\ j\end{bmatrix}_{q}q^{j(j-1)/2}z^j\]

정리

표현 $\Lambda^{j}V(k)$의 지표는 다음과 같다 \[\begin{bmatrix} k+1 \\ j\end{bmatrix}_{q}q^{j(j-1)/2}\]


증명

위의 증명과 유사하다. ■

파울리 행렬

  • 파울리 행렬의 선형결합으로 리대수 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ 의 원소를 표현할 수 있으며, 특별히 생성원 $E,F$는 raising and lowering 연산자로 불리며 다음과 같이 표현된다 $$H=\sigma_{z}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$$ $$E=\sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}$$ $$F=\sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}$$ $$[\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}$$


역사


메모

  • \(\mathbb{F}\) : algebraically closed field with characteristic 0 에 대해서도 같은 이야기를 전개할 수 있다
  • http://arxiv.org/abs/1504.07814

관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


books

  • [GW1998]Goodman and Wallach,Representations and invariants of the classical groups


관련논문

  • Bacry, Henri. 1987. “SL(2,C), SU(2), and Chebyshev Polynomials.” Journal of Mathematical Physics 28 (10) (October 1): 2259–2267. doi:10.1063/1.527759.