바일 지표 공식 (Weyl character formula)

수학노트
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개요

  • 유한차원 단순리대수의 유한차원표현 \(V\)에 대하여, 지표는 다음과 같이 정의된다

$$ \chi(V)=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} $$ 여기서 $V_{\lambda'}$는 weight $\lambda' \in P$에 대응되는 $V$의 weight space

정리 (바일 지표 공식)

$\lambda$를 highest weight으로 갖는 유한차원 기약표현 $V=L(\lambda)$의 지표는 다음과 같다 \[\chi_\lambda:=\chi(V)=\operatorname{ch}(V)=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho}) }{e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho})}{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho})}\]

  • 또다른 표현

\[\chi_\lambda=\frac{A_{\lambda+\rho}}{A_{\rho}}\] 여기서 \[A_{\mu}=\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]\]

  • denominator 항등식

\[{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\prod_{\alpha>0}(e^{\alpha/2}-e^{-\alpha/2})\]

기호

  • $P$ : weight lattice
  • $W$ : Weyl group


군론에서의 지표

  • $h\in \mathfrak{h}$에 대하여, $e^h$는 리군의 원소로 생각할 수 있다

$$\operatorname{tr}e^h=\oplus_{\lambda'}\operatorname{tr}_{V_{\lambda'}}e^h=\oplus_{\lambda'} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'(h)}$$ 이로부터 $$\chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'}$$


함수로 이해하기

  • \(e^{\lambda}\in \mathbb{Z}[P]\)
  • \(\mathfrak{h}\)에 정의된 함수로 생각하면, \(x\mapsto e^{2\pi i \langle \lambda,x \rangle}\)
  • \(\mathfrak{h}^{*}\)에 정의된 함수로 생각하면, \(\mu \mapsto e^{2\pi i (\lambda|\mu)}\)
    • \(\mu\in \mathfrak{h}^{*}\) 에 대하여, \(A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)\)
    • \({\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{2\pi i(\rho,v)}) = e^{2\pi i(\rho,v)}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-2\pi i(\alpha,v)})}\)


바일 차원 공식(Weyl dimension formula)

\[\operatorname{dim}(L(\lambda))=\prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho|\alpha)}{(\rho|\alpha)}\]


역사


메모

관련된 항목들

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수학용어번역


사전 형태의 자료



관련논문

  • Bernshtein, I. N., I. M. Gel’fand, and S. I. Gel’fand. 1971. “Structure of Representations Generated by Vectors of Highest Weight.” Functional Analysis and Its Applications 5 (1) (January 1): 1–8. doi:http://dx.doi.org/10.1007/BF01075841.