각의 삼등분(3등분, The trisection of an angle)
개요
- 작도문제와 구적가능성 에 서술된 바와 같이, 작도가 가능한 수는 유리수체로부터 시작하여, 그 원소들의 제곱근을 추가하여 얻어지는 체확장을 반복해서 만들어진 체에 들어 있다.
- 거듭제곱근 체확장(radical extension)의 개념이 중요
삼등분 가능하지 않은 각도
만약 삼등분 가능하지 않은 각을 제시할 수 있으면 증명이 끝난다.
먼저 유리수체로부터 시작하여, 그 원소들의 제곱근을 통해 얻어지는 체확장을 반복해서 얻어지는 모든 수가 이루는 체를 \(\mathbb K\)라 하자.
주어진 각 \(\theta=\frac{\pi}{3}\) 를 삼등분하는 경우에 대하여 생각해 보자. 먼저 이 각도는 정삼각형의 한 각의 크기와 같으므로, 자와 컴파스로 작도가능하다.
여기서는 각도 \(\alpha = \frac{\theta}{3}\) 는 작도가능하지 않음을 보이자. 즉, \(\cos \alpha\)가 \(\mathbb K\) 안에 들어있지 않음을 보이면 된다.
\(\cos \theta = \frac{1}{2}\) 와 코사인이 만족시키는 공식 \(\cos(3\alpha) = 4\cos^{3}(\alpha) - 3\cos(\alpha)\) 을 활용하면, \(y=\cos \alpha\) 는 유리계수다항식 \(1/2 = 4y^{3} - 3y\) 즉, \((2y)^{3} - 3(2y) - 1 = 0\) 을 만족시킨다.
\(x = 2y\) 로 두면, \(x^{3} - 3x - 1 = 0\) 가 만족된다.
한편 \(x^{3} - 3x - 1 = 0\)는 유리수체 위에서 인수를 갖지 않는 기약다항식이다.
따라서 \(x\)는 \(\mathbb K\)안에 있을 수 없고, \(y\)도 마찬가지이다.
그러므로 각도 \(\theta=\frac{\pi}{3}\) 는 자와 컴파스로 삼등분할 수 없다.
재미있는 사실
- 삼등분의 불가능이 증명되었음에도, 해법을 찾는 사람들이 많다. 이들을 angle trisector 라고 부른다.
- 이러한 주장에 현혹되는 것은 큰 망신을 살 수 있는 행위가 되므로, 주의를 요함.
- 네이버 사고 치다, Pomp On Math & Puzzle, 2009-4-27
- 각의 3등분의 정리, 함보현 기자, 연합뉴스, 2004-04-03
임의의 각 3등분 문제는 프랑스의 수학자 완첼(1814-1848)에 의해 작도 불가능이 증명됐다고 알려져 왔다. 「각의 3등분의 정리」(김휘암 지음)는 이러한 통념을 뒤엎고 특정한 각에 대한 3등분이 가능함을 증명한 책이다.
- 이러한 기사를 쓰는 경우, 기자로서의 자질을 의심받을 수도 있다.
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- 일반적으로 각의 삼등분이 항상 가능하지 않음에 대한 증명, Existence and Uniqueness
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