격자의 세타함수
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2014년 12월 16일 (화) 23:29 판
정의
- 격자 \(L\subseteq \mathbb{R}^n\) 에 대하여 세타함수를 다음과 같이 정의함
\[\theta_L(\tau)=\sum_{x\in L}q^{\frac{x^2}{2}}, \quad q=e^{2\pi i \tau}\] 여기서 \(x^2\) 은 벡터 \(x\)의 norm 을 가리킴.
예
1차원 격자 $\mathbb{Z}$
- 격자가 정수집합 \(\mathbb Z\) 로 주어진 경우의 세타함수
$$ \theta(\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}q^{\frac{n^2}{2}}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau} $$
- 이는 자코비 세타함수이며, 다음의 변환 성질을 만족한다
$$ \theta(-\frac{1}{\tau})=\sqrt{\frac{\tau}{i}} \theta({\tau}) $$
세타함수의 모듈라 성질
- 정리
유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$의 격자 $L$과 쌍대 $L^{*}$에 대하여 다음이 성립한다 : $$ \theta_{L}(-\frac{1}{\tau})=(\frac{\tau}{i})^{n/2}\frac{1}{\operatorname{vol}(\mathbb{R}^n/L)} \theta_{L^{*}}({\tau}) $$
- 증명
포아송의 덧셈 공식으로부터 얻어진다. ■
메모
- http://sbseminar.wordpress.com/2010/05/14/lattices-and-their-invariants/
- Arizona Winter School 2009: Quadratic Forms
- http://math.mit.edu/~brubaker/Math784/thetafunctions.pdf
- http://zacharyabel.com/papers/Theta-Series-Mod_A07.pdf
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