근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식

개요

다항방정식의 근의 거듭제곱의 합과, 다항식의 계수의 관계
뉴턴-지라드 항등식은 \(i\)-차 거듭제곱으로 주어지는 대칭다항식과 \(i\)-차 초등 대칭 다항식 (elementary symmetric polynomial)의 관계를 표현
다항식의 판별식(discriminant) 을 구하는데 사용할 수 있다

예

뉴턴-지라드 항등식은 아래와 같은 종류의 식을 고차로 일반화한다

2차방정식의 경우

2차방정식의 두 근이 \(x_1,x_2\)로 주어진다고 할 때, 이들의 거듭제곱은 다음 식을 만족시킨다\[\begin{array}{lll} x_1+x_2 & = & x_1+x_2 \\ x_1^2+x_2^2 & = & \left(x_1+x_2\right){}^2-2 x_1 x_2 \\ x_1^3+x_2^3 & = & \left(x_1+x_2\right){}^3-3 x_1 x_2 \left(x_1+x_2\right) \\ x_1^4+x_2^4 & = & \left(x_1+x_2\right){}^4-4 x_1 x_2 \left(x_1+x_2\right){}^2+2 x_1^2 x_2^2 \\ x_1^5+x_2^5 & = & \left(x_1+x_2\right){}^5-5 x_1 x_2 \left(x_1+x_2\right){}^3+5 x_1^2 x_2^2 \left(x_1+x_2\right) \end{array}\]
우변에 있는 식은 근과 계수와의 관계 다항식의 계수로 표현할 수 있다

3차방정식의 경우

3차방정식의 두 근이 \(x_1,x_2,x_3\)로 주어진다고 하자. 이들의 거듭제곱은 다음 식을 만족시킨다\[\begin{array}{lll} x_1+x_2+x_3 & = & x_1+x_2+x_3 \\ x_1^2+x_2^2+x_3^2 & = & \left(x_1+x_2+x_3\right){}^2-2 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right) \\ x_1^3+x_2^3+x_3^3 & = & \left(x_1+x_2+x_3\right){}^3-3 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right) \left(x_1+x_2+x_3\right)+3 x_1 x_2 x_3 \\ x_1^4+x_2^4+x_3^4 & = & \left(x_1+x_2+x_3\right){}^4-4 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right) \left(x_1+x_2+x_3\right){}^2+4 x_1 x_2 x_3 \left(x_1+x_2+x_3\right)+2 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right){}^2 \end{array}\]

뉴턴-지라드 항등식

\(\Psi_i\) 를 \(i\)-차 거듭제곱의 합, \(\Lambda_i\) 를 \(i\)-차 초등 대칭 다항식 (elementary symmetric polynomial)이라 두자
초등대칭다항식과 거듭제곱의 합 사이에 성립하는 다음 항등식을 뉴턴-지라드 항등식이라 한다

정리

\[ \begin{array}{l} \Psi _1-\Lambda _1=0 \\ 2 \Lambda _2-\Lambda _1 \Psi _1+\Psi _2=0 \\ -3 \Lambda _3+\Lambda _2 \Psi _1-\Lambda _1 \Psi _2+\Psi _3=0 \\ 4 \Lambda _4-\Lambda _3 \Psi _1+\Lambda _2 \Psi _2-\Lambda _1 \Psi _3+\Psi _4=0 \\ -5 \Lambda _5+\Lambda _4 \Psi _1-\Lambda _3 \Psi _2+\Lambda _2 \Psi _3-\Lambda _1 \Psi _4+\Psi _5=0 \\ 6 \Lambda _6-\Lambda _5 \Psi _1+\Lambda _4 \Psi _2-\Lambda _3 \Psi _3+\Lambda _2 \Psi _4-\Lambda _1 \Psi _5+\Psi _6=0 \\ -7 \Lambda _7+\Lambda _6 \Psi _1-\Lambda _5 \Psi _2+\Lambda _4 \Psi _3-\Lambda _3 \Psi _4+\Lambda _2 \Psi _5-\Lambda _1 \Psi _6+\Psi _7=0 \\ \cdots \end{array} \]

거듭제곱 대칭 다항식을 초등 대칭 다항식으로 표현하기

\(\Psi_i\)를 \(\Lambda_i\)를 이용하여 표현할 수 있다

\[\begin{array}{l} \Psi _1=\Lambda _1 \\ \Psi _2=\Lambda _1^2-2 \Lambda _2 \\ \Psi _3=\Lambda _1^3-3 \Lambda _1 \Lambda _2+3 \Lambda _3 \\ \Psi _4=\Lambda _1^4-4 \Lambda _1^2 \Lambda _2+2 \Lambda _2^2+4 \Lambda _1 \Lambda _3-4 \Lambda _4 \\ \Psi _5=\Lambda _1^5-5 \Lambda _1^3 \Lambda _2+5 \Lambda _1 \Lambda _2^2+5 \Lambda _1^2 \Lambda _3-5 \Lambda _2 \Lambda _3-5 \Lambda _1 \Lambda _4+5 \Lambda _5 \end{array}\]

초등 대칭 다항식을 거듭제곱 대칭 다항식으로 표현하기

\(\Lambda_i\)를 \(\Psi_i\)를 이용하여 표현할 수 있다

\[\begin{array}{l} \Lambda _1=\Psi _1 \\ \Lambda _2=\frac{1}{2} \left(\Psi _1^2-\Psi _2\right) \\ \Lambda _3=\frac{1}{6} \left(\Psi _1^3-3 \Psi _1 \Psi _2+2 \Psi _3\right) \\ \Lambda _4=\frac{1}{24} \left(\Psi _1^4-6 \Psi _1^2 \Psi _2+3 \Psi _2^2+8 \Psi _1 \Psi _3-6 \Psi _4\right) \end{array}\]

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYWt0MG5GaGJzMnM/edit

사전형태의 자료

http://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_identities

메타데이터

위키데이터

ID : Q568182