대수적 베테 가설 풀이(algebraic Bethe ansatz)

수학노트
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하이젠베르크 스핀 1/2 XXX 고리 모형

해밀토니안

\[H_{i,j}=\frac{J}{4}(\sigma_i^x \sigma_{j}^x +\sigma_i^y \sigma_{j}^y + \sigma_i^z \sigma_{j}^z-I^{\otimes N})=\frac{J}{2}(P_{ij}-I^{\otimes N})\] \(P_{ij}\)는 치환연산자

  • J>0 는 antiferromagnet 의 모형
  • J<0 는 ferromagnet 의 모형
  • 해밀토니안을 대각화하는 문제에 베테안싸쯔가 사용된다

R-matrix와 양-박스터 방정식

  • \(V=\mathbb{C}^2\)로 두자
  • \(R(u): V \otimes V \to V \otimes V\) 를 다음과 같이 정의하며, R-행렬이라 부른다

\[ \left( \begin{array}{cccc} u+i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & u & i & 0 \\ 0 & i & u & 0 \\ 0 & 0 & 0 & u+i \end{array} \right) \]

  • R-행렬은 다음의 관계식을 만족하며 이를 양-박스터 방정식이라 부른다

\[R_{12}(u)R_{13}(u+v)R_{23}(v)=R_{23}(v)R_{13}(u+v)R_{12}(u)\] 여기서 \(R_{ij}(u) : V_1\otimes V_2\otimes V_3\to V_1\otimes V_2\otimes V_3\)의 \(i,j\) 부분에 작용하는 R-행렬

모노드로미 행렬

  • 모노드로미 행렬

\[ T_0(\lambda )=\left( \begin{array}{cc} A(\lambda ) & B(\lambda ) \\ C(\lambda ) & D(\lambda ) \end{array} \right) \]

여기서 \(V^{\otimes N}\)에 작용하는 연산자 \(A(\lambda ) ,B(\lambda ) , C(\lambda ) , D(\lambda )\) 는 다음과 같은 관계를 만족한다 \[ \begin{eqnarray} \left[ B(\lambda), B(\lambda') \right] \ &=& 0 \\ A(\lambda)\ B(\lambda') &=& {a(\lambda' - \lambda)\over b(\lambda' - \lambda)} B(\lambda')\ A(\lambda) - {c(\lambda' - \lambda)\over b(\lambda' - \lambda)} B(\lambda)\ A(\lambda') \\ D(\lambda)\ B(\lambda') &=& {a(\lambda - \lambda')\over b(\lambda - \lambda')}B(\lambda')\ D(\lambda) - {c(\lambda - \lambda')\over b(\lambda - \lambda')} B(\lambda)\ D(\lambda') \end{eqnarray} \]


베테안싸쯔 방정식

\[\begin{eqnarray}\label{bae} \left( {\lambda_{\alpha} + {i\over 2} \over \lambda_{\alpha} - {i\over 2}} \right)^{N} = \prod_{\scriptstyle{\beta=1}\atop \scriptstyle{\beta \ne \alpha}}^M {\lambda_{\alpha} - \lambda_{\beta} + i \over \lambda_{\alpha} - \lambda_{\beta} - i } \,, \qquad \alpha = 1 \,, \cdots \,, M \,. \end{eqnarray}\]

  • 베테안싸쯔 방정식은 다음과 같이 표현되기도 한다

\[ \exp(ik_jN)\prod_{i \neq j}^{M}S(\lambda_j,\lambda_i)=1 \,, \qquad j = 1 \,, \cdots \,, M \,. \] 여기서 \(e^{i k_j}=\frac{\lambda_j+i/2}{\lambda_j-i/2}\) 또는 \(\lambda_j=\frac{1}{2}\cot \frac{k_j}{2}\) 그리고 \[ S(v,u)=\frac{u-v-i}{u-v+i}. \]

  • 베테안싸쯔 방정식 \ref{bae}의 해를 베테 해(Bethe roots)라 부르며, 각각의 베테 해로부터 해밀토니안 \ref{ham}의 고유벡터를 얻게 된다

고유벡터와 고유값

  • 베테 해 \((u_1,\cdots, u_M)\)으로부터 \(|u_1,\cdots, u_M\rangle=\prod_{i=1}^{M}B(u_i)|0\rangle \in V^{\otimes N}\)를 얻고, 벡터 \(|u_1,\cdots, u_M\rangle\) 는 해밀토니안의 고유벡터이며, 고유값 \(E\)은 다음과 같이 주어진다

\[ E=-\frac{J}{2}\sum_{i=1}^{M}\frac{1}{u_{i}^2+\frac{1}{4}} \]

격자 모형 : 6-vertex model

\[R(u,\eta)=\rho\left( \begin{array}{cccc} \sin (u+\eta ) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sin (u) & \sin (\eta ) & 0 \\ 0 & \sin (\eta ) & \sin (u) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \sin (u+\eta ) \end{array} \right)\]


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  • [{'LOWER': 'partial'}, {'LEMMA': 'trace'}]
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