르장드르 타원곡선

개요

\[y^2=x(x-1)(x-t), \quad t \in \mathbb{C}\]

주기적분으로부터 '기하학에서 오는' 선형미분방정식의 예를 얻는다
호지 구조의 variation에 해당하는 간단한 예
'characterize the linear differential equations that come from the cohomology of some family of algebraic varieties'는 수학의 중요한 문제

타원곡선의 주기를 주기 적분 (period integral)으로 주어진 \(t \in \mathbb{C}\)의 함수로 생각할 수 있고, 이는 다음과 같이 주어진다

\[ \Omega_1(t)=\int_{t}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-t)}} \\ \Omega_2(t)=\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-t)}} \]

\[ z(1-z)\frac{d^2 \Omega}{dz^2}+(1-2z)\frac{d\Omega}{dz}-\frac{1}{4}\Omega = 0 \]

\[ \Omega_{2}(z)=\pi\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z) \]

\[ \int_1^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-\lambda)}}=2K(k), \quad \lambda=k^2 \]

Totaro, Burt. 2007. “Euler and Algebraic Geometry.” Bulletin of the American Mathematical Society 44 (4): 541–559. doi:10.1090/S0273-0979-07-01178-0.