리대수 so(6)의 유한차원 표현론

개요

• 복소수체 위의 15차원 리대수
• $D_3$ 타입의 단순 리대수

리대수 $\mathfrak{so}(6)$

• $D_3$ 카르탄 행렬

$$ \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ \end{array} \right) $$

• $D_3$ 루트 시스템

\[\Phi= \left\{\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2,\alpha _1+\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2+\alpha _3\right\} \]

• 바일군, 크기 24인 유한반사군

$$ \{s[], s[1], s[2], s[3], s[1, 2], s[1, 3], s[2, 1], s[2, 3], s[3, 1], \\ s[1, 2, 1], s[1, 2, 3], s[1, 3, 1], s[2, 1, 3], s[2, 3, 1], s[3, 1, 2],\\ s[1, 2, 1, 3], s[1, 2, 3, 1], s[1, 3, 1, 2], s[2, 1, 3, 1], s[2, 3, 1, 2], \\ s[1, 2, 1, 3, 1], s[1, 2, 3, 1, 2], s[2, 1, 3, 1, 2], \\ s[1, 2, 1, 3, 1, 2]\} $$

• \(D_3\)의 루트 시스템을 \(\mathbb{R}^3\)안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
  • \(\alpha_1=(1,-1,0)\)
  • \(\alpha_2=(0,1,-1)\)
  • \(\alpha_3=(0,1,1)\)

• fundamental weights
  • $\omega_1=(1,0,0)$
  • $\omega_2=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$
  • $\omega_3=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$
• 바일 벡터 \(\rho=(2,1,0)\)

유한차원 기약 표현의 분류

• 유한차원 기약 표현 $V$에 대하여, 적당한 dominant weight $\omega=a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3, a,b,c\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$가 존재하여, $V\cong L(\omega)$가 성립
• 바일 차원 공식(Weyl dimension formula)을 이용하면, 다음을 얻는다

$$ \dim L(a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3)=\frac{1}{12} (a+1) (b+1) (c+1) (a+b+2) (a+c+2) (a+b+c+3) $$

기약표현의 예

• 표현 $V=L(\lambda)$의 지표를 다음과 같이 정의

$$ \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} $$

• $x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2},x_3=e^{\omega_3}$로 두면, $\chi_{\lambda}$는 $\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm},x_3^{\pm}]$의 원소가 된다
• 바일 지표 공식 (Weyl character formula) 항목 참조

예1

• 벡터 표현, highest weight은 $\omega_1$
• 6차원 표현
• 지표

$$ \chi_{\omega_1}=\frac{x_1}{x_2 x_3}+x_1+\frac{x_3}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\frac{x_2 x_3}{x_1}+\frac{1}{x_1} $$

• weight diagram

예2

• adjoint 표현, highest weight $\omega_2+\omega_3$
• 15차원 표현
• 지표

$$ \chi_{\omega_2+\omega_3}=\frac{x_1^2}{x_2 x_3}+\frac{x_3 x_1}{x_2}+\frac{x_1}{x_2^2}+\frac{x_2 x_1}{x_3}+\frac{x_1}{x_3^2}+\frac{x_2 x_3}{x_1^2}+x_2 x_3+\frac{x_3}{x_1 x_2}+\frac{x_2}{x_1 x_3}+\frac{1}{x_2 x_3}+\frac{x_2^2}{x_1}+\frac{x_3^2}{x_1}+3 $$

• weight diagram

관련된 항목들

• 리대수 sl(4,C)의 유한차원 표현론
• 리대수 so(5)의 유한차원 표현론

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxMEE2SE5CaDFwclU/edit