미디의 정리(Midy's theorem)

개요

'142857의 신비'에서처럼 142857과 같은 수를 적당한 자리마다 쪼개어 더했을때 9가 많이 나타나는 현상에 대한 일반적인 이해
- 1+8=4+5=2+7=9
- 142 + 857=999
- 428 + 571=999
- 285 + 714=999
- 857 + 142=999
- 571 + 248=999
- 712 + 485=999
- 14+28+57=99
- 42+85+71=198=2*99
여기서 142857과 같은 수란 cyclic numbers 를 의미한다
대부분의 성질은 순환군 을 통하여 이해할 수 있다
더 구체적으로는 \(\mathbb{Z}_p^{x}\)에서 10^k 꼴의 원소로 생성되는 부분군과 그 coset 의 원소들의 합을 구하는 문제로 이해할 수 있다

순환마디의 길이가 2의 배수일때

정리

소수 p에 대하여, 분수 a/p (\(1\leq a \leq p-1\)) 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 2n 이고, 순환마디가 \(a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}\) 라 하자. 다음이 성립한다 \[1\leq i \leq n\] 에 대하여, \(a_{i} + a_{i+n}=9\) 또한 \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} = 99\cdots 99\)(n개의 9) 가 성립한다.

증명

분수 a/p (\(1\leq a \leq p-1\)) 를 생각하자.

\(g_k \equiv a10^k \pmod p\) 를 만족시키는 \(1\leq g_k \leq p-1\), \((k=0,1,\cdots,2n-1)\)를 정의하자. \(g_0=a\) 이다.

분수 a/p의 순환마디의 길이가 2n이면, \(10^n \equiv -1 \pmod p\) 가 성립하므로, \(g_n=p-a\) 임을 안다.

\(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_0}{p}=\frac{(g_0+g_n)(10^n-1)}{p}=10^n-1\) ■

예 : 1176470588235294

p=17
2/17 = 0.11764705882352941176470588235294...
11764705 + 88235294 = 99999999
이 경우엔 위의 증명에서 \(g_k\) 로 쓰인 수는 2, 3, 13, 11, 8, 12, 1, 10, 15, 14, 4, 6, 9, 5, 16, 7 로 주어진다

순환마디의 길이가 3의 배수일 때

정리

소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이고, 순환마디가 \(a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}\) 라 하자. 다음이 성립한다. \[a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99\]

증명

순환마디의 길이가 3n인 분수 1/p 를 생각하자.

\(g_k \equiv 10^k \pmod p\), \(0\leq g_k \leq p-1\) 라 정의하자. \(g_0=1\) 이다.

\(g_{2n} \equiv g_n^2 \pmod p\), \(g_n^3 \equiv 1 \pmod p\) 이므로, \(g_0+g_n+g_{2n}\equiv 1+g_n+g_n^2=(g_n^3-1)/(g_n-1)\equiv 0 \pmod p\) 이다.

따라서 \(g_0+g_n+g_{2n}=p\) 또는 \(g_0+g_n+g_{2n}=2p\)가 성립한다.

그러나 \(1\leq g_k \leq p-1\) 이므로 \(1+g_n+g_{2n}=2p\)일 수 없다. 따라서 \(g_0+g_n+g_{2n}=p\)

\(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_{2n}}{p}+\frac{g_{2n} 10^n-g_{0}}{p}=\frac{(g_0+g_n+g_{2n})(10^n-1)}{p}=10^n-1\) ■

일반적으로 소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이라고 하자. 분수 a/p (\(1\leq a \leq p-1\)) 또는 (p-a)/p (\(1\leq a \leq p-1\)) 의 순환소수전개를 생각하자. 둘 중의 하나는 \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99\) 다른 하나는, \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=2* 99\cdots 99\) 를 만족한다

예 : 052631578947368421

p=19
- 1/19=0.052631578947368421052...
- 52631+578947+368421=999999
p=7
- 3/7 = 0.4285714286...
- 42+ 85+71=198
- 4/7 = 0.5714285714
- 57+14+28=99

역사

1836년 미디
http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
수학사 연표

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYWNhZDQwN2MtNjMyMS00ZDc2LTgzZTQtMzFmMTQxYWFmZWM0&sort=name&layout=list&num=50

사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

A Curious String of Nines
- Hans Liebeck,
- The Mathematical Gazette, Vol. 85, No. 504 (Nov., 2001), pp. 431-438